Nội dung bài giảng
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Biết AC = 6cm, BD = 8cm. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi X, Y, Z, T theo thứ tự là trung điểm các cạnh MN, NP, PQ, QM.
a. Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.
b. Tính diện tích của tứ giác XYZT.
Giải:
a. Trong ∆ ABD ta có:
M là trung điểm của AB
Q là trung điểm của AD
nên MQ là đường trung bình của ∆ ABD.
⇒ MQ // BD và MQ = \({1 \over 2}\)BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
Trong ∆ CBD ta có:
N là trung điểm của BC
P là trung điểm của CD
nên NP là đường trung bình của ∆ CBD
⇒ NP // BD và NP = \({1 \over 2}\)BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MQ // NP và MQ = NP nên tứ giác MNPQ là hình bình hành
AC ⊥ BD (gt)
MQ // BD
Suy ra: AC ⊥ MQ
Trong ∆ ABC có MN là đường trung bình ⇒ MN // AC
Suy ra: MN ⊥ MQ hay \(\widehat {NMQ} = 90^\circ \)
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
b. Kẻ đường chéo MP và NQ
Trong ∆ MNP ta có:
X là trung điểm của MN
Y là trung điểm của NP
nên XY là đường trung bình của ∆ MNP
⇒ XY // MP và XY = \({1 \over 2}\)MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)
Trong ∆ QMP ta có:
T là trung điểm của QM
Z là trung điểm của QP
nên TZ là đường trung bình của ∆ QMP
⇒ TZ // MP và TZ = \({1 \over 2}\)MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: XY // TZ và XY = TZ nên tứ giác XYZT là hình bình hành.
Trong ∆ MNQ ta có XT là đường trung bình
⇒ XT = \({1 \over 2}\)QN (tính chất đường trung bình của tam giác)
Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ⇒ MP = NQ
Suy ra: XT = XY. Vậy tứ giác XYZT là hình thoi
\({S_{XYZT}} = {1 \over 2}XZ.TY\)
mà \(XZ = MQ = {1 \over 2}BD = {1 \over 2}.8 = 4\) (cm);
\(TY = MN = {1 \over 2}AC = {1 \over 2}.6 = 3\) (cm)
Vậy : \({S_{XYZT}} = {1 \over 2}.3.4 = 6(c{m^2})\)