Nội dung bài giảng
Bài 10. Giải các hệ phương trình:
a) \(\left\{ \matrix{2\sqrt {x - 1} - \sqrt {y - 1} = 1 \hfill \cr \sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 1} = 2 \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{{\left( {x - 1} \right)^2} - 2y = 2 \hfill \cr 3{\left( {x - 1} \right)^2} + 3y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Hướng dẫn trả lời:
a) \(\left\{ \matrix{2\sqrt {x - 1} - \sqrt {y - 1} = 1 \hfill \cr \sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 1} = 2 \hfill \cr} \right.\)
Đặt \(X = \sqrt {x - 1}\) (điều kiện \(X ≥ 0\))
\(Y = \sqrt {y - 1}\) (điều kiện \(Y ≥ 0\))
Thay vào phương trình ta được:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2X - Y = 1 \hfill \cr
X + Y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{\rm{X}} = 3 \hfill \cr
X + Y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
X = 1 \hfill \cr
Y = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\sqrt {x - 1} = 1 \hfill \cr
\sqrt {y - 1} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 1 = 1 \hfill \cr
y - 1 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \((2;2)\) là nghiện của hệ phương trình
b) \(\left\{ \matrix{{\left( {x - 1} \right)^2} - 2y = 2 \hfill \cr 3{\left( {x - 1} \right)^2} + 3y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Đặt \(X = (x – 1)^2\)(điều kiện \(X ≥ 0\))
\( \left\{ \matrix{
{\left( {x - 1} \right)^2} - 2y = 2 \hfill \cr
3{\left( {x - 1} \right)^2} + 3y = 1 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
X - 2y = 2 \hfill \cr
3{\rm{X}} + 3y = 1 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 3{\rm{X}} + 6y = - 6 \hfill \cr
3{\rm{X}} + 3y = 1 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
9y = - 5 \hfill \cr
X - 2y = 2 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = - {5 \over 9} \hfill \cr
X = {8 \over 9} \hfill \cr} \right. \)
Ta có \({\left( {x - 1} \right)^2} = X = {8 \over 9} \Leftrightarrow x - 1 = \pm \sqrt {{8 \over 9}} = \pm {{2\sqrt 2 } \over 3}\)
Với \(x - 1 = {{2\sqrt 2 } \over 3} \Leftrightarrow x = {{2\sqrt 2 } \over 3} + 1\)
Với \(x - 1 = - {{2\sqrt 2 } \over 3} \Leftrightarrow x = 1 - {{1\sqrt 2 } \over 3}\)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: \(\left( {1 + {{2\sqrt 2 } \over 3}; - {5 \over 9}} \right)\) và \(\left( {1 - {{2\sqrt 2 } \over 3}; - {5 \over 9}} \right)\)