Nội dung bài giảng
Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠b )
a) \({{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\sqrt a - 2\sqrt b }} - {{\sqrt a - \sqrt b } \over {2\sqrt a + 2\sqrt b }} - {{2b} \over {b - a}} = {{2\sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }}\);
b) \(\left( {{{a\sqrt a + b\sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left( {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {a - b}}} \right)^2} = 1.\)
Gợi ý làm bài:
a) Ta có:
\(\eqalign{
& {{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\sqrt a - 2\sqrt b }} - {{\sqrt a - \sqrt b } \over {2\sqrt a + 2\sqrt b }} - {{2b} \over {b - a}} \cr
& = {{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}} - {{\sqrt a - \sqrt b } \over {2\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} - {{2b} \over {b - a}} \cr
& = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} + {{2b} \over {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2} + 4b} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{a + 2\sqrt {ab} + b - a + 2\sqrt {ab} - b + 4b} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{4\sqrt {ab} + 4b} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{4\sqrt b \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{2\sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr} \)
(với a, b không âm và a ≠b )
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b. Ta có:
\(\eqalign{
& \left( {{{a\sqrt a + b\sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left( {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {a - b}}} \right)^2} \cr
& = \left( {{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} } \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left[ {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}} \right]^2} \cr
& = \left[ {{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt {{a^2}} - \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \right)} \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right]{\left( {{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }}} \right)^2} \cr
& = \left( {\sqrt {{a^2}} - \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} - \sqrt {ab} } \right){1 \over {{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}} \cr
& = {{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}} = 1 \cr} \)
(với a, b không âm và a ≠b )
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.