Nội dung bài giảng
Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P. Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba đường tròn đó là A, B, C. Từ một điểm D (khác điểm P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đường tròn (PAB) và (PAC) lần lượt tại M, N. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Giải
Gọi ba đường tròn tâm O1, O2, O3
(O1) cắt (O2) tại A; (O1) cắt (O3) tại B.
(O2) cắt(O3) tại C. Suy ra D là điểm nằm trên đường tròn (O3).
BD cắt (O1) tại M, DC cắt (O2) tại N.
Nối PA, PB, PC; MA, NA.
Ta có tứ giác APBM nội tiếp trong đường tròn (O1).
\(\widehat {MAP} + \widehat {MBP} = 180^\circ \) (tính chất tứ giác nội tiếp)
\(\widehat {MBP} + \widehat {PBD} = 180^\circ \) (kề bù)
Suy ra: \(\widehat {MAP} = \widehat {PBD}\) (1)
Ta có: Tứ giác APCN nội tiếp trong đường tròn (O2)
\(\widehat {NAP} + \widehat {NCP} = 180^\circ \) (tính chất tứ giác nội tiếp)
\(\widehat {NCP} + \widehat {PCD} = 180^\circ \) (kề bù)
Suy ra: \(\widehat {NAP} = \widehat {PCD}\) (2)
Tứ giác BPCD nội tiếp trong đường tròn (O3)
\( \Rightarrow \widehat {PBD} + \widehat {PCD} = 180^\circ \) (tính chất tứ giác nội tiếp) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {MAP} + \widehat {NAP} = 180^\circ \)
Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng.