Nội dung bài giảng
Giải các phương trình trùng phương:
a) \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\)
b) \({y^4} - 1,16{y^2} + 0,16 = 0\)
c) \({z^4} - 7{z^2} - 144 = 0\)
d) \(36{t^4} - 13{t^2} + 1 = 0\)
e) \({1 \over 3}{x^4} - {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0\)
f) \(\sqrt 3 {x^4} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} - 2 = 0\)
Giải
a) \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\) đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} - 8t - 9 = 0\) có dạng \(a - b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 1 - \left( { - 8} \right) + \left( { - 9} \right) = 0 \cr
& {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 9} \over 1} = 9 \cr} \)
\({t_1} = - 1 < 0\) loại
\( \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: \({x_1} = 3;{x_2} = - 3\)
b) \({y^4} - 1,16{y^2} + 0,16 = 0\) đặt \({y^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} - 1,16t + 0,16 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 1 + \left( { - 1,16} \right) + 0,16 = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = 0,16 \cr
& \Rightarrow {y^2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1 \cr
& {y^2} = 0,16 \Rightarrow y = \pm 0,4 \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({y_1} = 1;{y_2} = - 1;{y_3} = 0,4;{y_4} = - 0,4\)
c) \({z^4} - 7{z^2} - 144 = 0\) đặt \({z^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} - 7t - 144 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.\left( { - 144} \right) = 49 + 576 = 625 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \cr
& {t_1} = {{7 + 25} \over {2.1}} = 16 \cr
& {t_2} = {{7 - 25} \over {2.1}} = - 9 \cr} \)
\({t_2} = - 9 < 0\) loại
\( \Rightarrow {z^2} = 16 \Leftrightarrow z = \pm 4\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({z_1} = 4;{z_2} = - 4\)
d) \(36{t^4} - 13{t^2} + 1 = 0\) đặt \({t^2} = u \Rightarrow u \ge 0\)
Ta có phương trình: \(36{u^2} - 13u + 1 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { - 13} \right)^2} - 4.36.1 = 169 - 144 = 25 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr
& {u_1} = {{13 + 5} \over {2.36}} = {{18} \over {72}} = {1 \over 4} \cr
& {u_2} = {{13 - 5} \over {2.36}} = {8 \over {72}} = {1 \over 9} \cr
& {t^2} = {1 \over 4} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 2} \cr
& {t^2} = {1 \over 9} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 3} \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = {1 \over 2};{x_2} = - {1 \over 2};{x_3} = {1 \over 3};{x_4} = - {1 \over 3}\)
e)
\(\eqalign{
& {1 \over 3}{x^4} - {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^4} - 3{x^2} + 1 = 0 \cr} \)
Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \(2{t^2} - 3t + 1 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 2 + \left( { - 3} \right) + 1 = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \cr
& {x^2} = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = \pm {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = - 1;{x_3} = {{\sqrt 2 } \over 2};{x_4} = - {{\sqrt 2 } \over 2}\)
f) \(\sqrt 3 {x^4} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} - 2 = 0\) đặt \({x_2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \(\sqrt 3 {t^2} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)t - 2 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt 3 - \left[ { - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \right] + \left( { - 2} \right) \cr
& = \sqrt 3 - \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cr
& = \sqrt 3 - \sqrt 3 + 2 - 2 = 0 \cr
& {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 2} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)
\({t_1} = - 1 < 0\) loại
\({x^2} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow x = \pm \sqrt {{{2\sqrt 3 } \over 3}} = \pm {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\)
Phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3};{x_2} = - {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\)