Nội dung bài giảng
Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:
a) \({\left( {4x - 5} \right)^2} - 6\left( {4x - 5} \right) + 8 = 0\)
b) \({\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) - 8 = 0\)
c) \({\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0\)
d) \(\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\)
e) \({{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0\)
f) \(x - \sqrt {x - 1} - 3 = 0\)
Giải
a) \({\left( {4x - 5} \right)^2} - 6\left( {4x - 5} \right) + 8 = 0\) đặt \(4x - 5 = t,\) ta có phương trình:
\(\eqalign{
& {t^2} - 6t + 8 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1 \cr
& {t_1} = {{3 + 1} \over 1} = 4 \cr
& {t_2} = {{3 - 1} \over 1} = 2 \cr} \)
Suy ra:
\(\left[ {\matrix{
{4x - 5 = 4} \cr
{4x - 5 = 2} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{4x = 9} \cr
{4x = 7} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = {9 \over 4}} \cr
{x = {7 \over 4}} \cr} } \right.} \right.} \right.\)
Phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = {9 \over 4};{x_2} = {7 \over 4}\)
b) \({\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) - 8 = 0\) đặt \({x^2} + 3x - 1 = t\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 8 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr
& {t_1} = {{ - 1 + 3} \over 1} = 2 \cr
& {t_2} = {{ - 1 - 3} \over 1} = - 4 \cr} \)
Với t1 = 2 ta có: \({x^2} + 3x - 1 = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 3 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = 9 - 4.1.\left( { - 3} \right) = 9 + 12 = 21 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr
& {x_1} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 1} = - 3 + \sqrt {21} \cr
& {x_2} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 1} = - 3 - \sqrt {21} \cr} \)
Với t2 = -4 ta có: \({x^2} + 3x - 1 = - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 3 = 0\)
\(\Delta = {3^2} - 4.1.3 = 9 - 12 = - 3 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 3 + \sqrt {21} ;{x_2} = - 3 - \sqrt {21} \)
c)
\(\eqalign{
& {\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 5\left( {2{x^2} + x - 2} \right) - 6 = 0 \cr} \)
Đặt \(2{x^2} + x - 2 = t\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 5t - 6 = 0\) có dạng:
\(\eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 5 + \left( { - 6} \right) = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = - 6 \cr} \)
Với t1 = 1 ta có: \(2{x^2} + x - 2 = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0\)
\(2 + 1 + \left( { - 3} \right) = 0 \Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} = - {3 \over 2}\)
Với t2 = -6 ta có: \(2{x^2} + x - 2 = - 6 \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 4 = 0\)
\(\Delta = {1^2} - 4.2.4 = 1 - 32 = - 31 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = - {3 \over 2}\)
d)
\(\eqalign{
& \left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) + 2} \right]\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^2} + 2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) - 3 = 0 \cr} \)
Đặt \({x^2} - 3x + 2 = t\)
Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 3 = 0\) có dạng:
\(\eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3 \cr} \)
Với t1 = 1 ta có: \({x^2} - 3x + 2 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.1 = 9 - 4 = 5 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& {x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2} \cr} \)
Với t2 = -3 ta có: \({x^2} - 3x + 2 = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 5 = 0\)
\(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.5 = 9 - 20 = - 11 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\)
e)
\(\eqalign{
& {{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\left( {{x \over {x + 1}}} \right)^2} - 5\left( {{x \over {x + 1}}} \right) + 3 = 0 \cr} \)
Đặt \({x \over {x + 1}} = t,\) ta có phương trình: \(2{t^2} - 5t + 3 = 0\)
\(2{t^2} - 5t + 3 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0;2 + \left( { - 5} \right) + 3 = 0\)
\({t_1} = 1;{t_2} = {3 \over 2}\)
Với \({t_1} = 1\) ta có: \({x \over {x + 1}} = 1 \Leftrightarrow x = x + 1 \Rightarrow 0x = 1\) vô nghiệm
Với t2 = \({3 \over 2}\) ta có: \({x \over {x + 1}} = {3 \over 2} \Leftrightarrow 2x = 3x + 3 \Rightarrow x = - 3\)
x = -3 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = -3
f) \(x - \sqrt {x - 1} - 3 = 0\) điều kiện: x ≥ 1
\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) - \sqrt {x - 1} - 2 = 0\) đặt \(\sqrt {x - 1} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} - t - 2 = 0\) có dạng: \(a - b + c = 0\)
\(\eqalign{
& 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 1 + 1 - 2 = 0 \cr
& {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 2} \over 1} = 2 \cr} \)
\({t_1} = - 1 < 0\) loại
Với \({t_2} = 2\) ta có: \(\sqrt {x - 1} = 2 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\)
x = 5 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 5