Nội dung bài giảng
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng DE.
b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.
c) Tính diện tích tứ giác DENM.
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\(HD \bot AB \Rightarrow \widehat {ADH} = 90^\circ \)
\(HE \bot AC \Rightarrow \widehat {AEH} = 90^\circ \)
Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Suy ra: AH = DE (tính chất hình chữ nhật)
Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao.
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:
\(\eqalign{
& A{H^2} = HB.HC = 4.9 = 36 \cr
& \Rightarrow AH = 6\,(cm) \cr} \)
Vậy DE = 6 (cm)
b) * Gọi G là giao điểm của AH và DE
Ta có: GA = GD = GH = GE (tính chất hình chữ nhật)
Suy ra tam giác GHD cân tại G
Ta có:
\(\widehat {GDH} = \widehat {GHD}\,(1)\)
\(\widehat {GDH} + \widehat {MDH} = 90^\circ \,(2)\)
\(\widehat {GHD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \,(3)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\,(4)\)
Suy ra tam giác MDH cân tại M \( \Rightarrow MD = MH\,(5)\)
Lại có: \(\widehat {MDH} + \widehat {MDB} = 90^\circ \,(6)\)
\(\widehat {MBD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \) (∆BDH vuong tại D) (7)
Từ (4), (6) và (7) suy ra: \(\widehat {MDB} = \widehat {MBD}\)
Suy ra tam giác MBD cân tại M \( \Rightarrow MB = MD\,(8)\)
Từ (5) và (8) suy ra: MB = MH hay M là trung điểm của BH.
*Tam giác GHE cân tại G
Ta có: \(\widehat {GHE} = \widehat {GEH}\,(9)\)
\(\widehat {GHE} + \widehat {NHE} = 90^\circ \) (10)
\(\widehat {GEH} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (11)
Từ (9), (10) và (11) suy ra: \(\widehat {NHE} = \widehat {NEH}\) (12)
Suy ra tam giác NEH cân tại n \( \Rightarrow NE = NH\) (13)
Lại có: \(\widehat {NEC} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (14)
\(\widehat {NHE} + \widehat {NCE} = 90^\circ \) (∆CEH vuông tại E) (15)
Từ (12), (14) và (15) suy ra: \(\widehat {NDC} = \widehat {NCE}\)
Suy ra tam giác NCE cân tại N \( \Rightarrow NC = NE\,(16)\)
Từ (13) và (16) suy ra: NC = NH hay N là trung điểm của CH.
c) Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:
\(DM = {1 \over 2}BH = {1 \over 2}.4 = 2\,(cm)\)
Tam giác CEH vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên
\(EN = {1 \over 2}CH = {1 \over 2}.9 = 4,5\,(cm)\)
Mà \(MD \bot DE\) và \NE \bot DE\) nên MD // NE
Suy ra tứ giác DENM là hình thang
Vậy
\(\eqalign{
& {S_{DENM}} = {{DM + NE} \over 2}.DE \cr
& = {{2 + 4,5} \over 2}.6 = 19,5 \cr} \) (cm2).