Nội dung bài giảng
Câu IV.1 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Cho hàm số \(y = - 3{x^2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A) Khi 0 < x < 15, hàm số đồng biến
B) Khi -1 < x < 1, hàm số đồng biến
C) Khi -15 < x < 0, hàm số đồng biến
D) Khi -15 < x < 1, hàm số đồng biến
Giải
Cho hàm số: \(y = - 3{x^2}\). Khẳng định sau đây là đúng.
Chọn C) Khi -15 < x < 0, hàm số đồng biến.
Câu IV.2 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Muốn tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng S, tích của chúng bằng P thì ta giải phương trình nào sau đây?
A) \({x^2} + Sx + P = 0\)
B) \({x^2} - Sx + P = 0\)
C) \({x^2} - Sx - P = 0\)
D) \({x^2} + Sx - P = 0\)
Giải
Muốn tìm hai số khi biết tổng bằng S, tích của chúng bằng P thì ta phải giải phương trình
Chọn B) \({x^2} - Sx + P = 0\)
Câu IV.3 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các phương trình:
a) \({x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0\)
b) \({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0\)
c) \(2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + \left( {1 - 3\sqrt 2 } \right){x^2} - 3x - 4 = 0\)
d) \(\left( {2{x^2} + 7x - 8} \right)\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0\)
Giải
a)
\(\eqalign{
& {x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + 2{x^2} + 4x - 3x - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 2} \right) + 2x\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x + 2 = 0} \cr
{{x^2} + 2x - 3 = 0} \cr
} } \right. \cr
& x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \cr} \)
\({x^2} + 2x - 3 = 0\). Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0;1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0\)
\({x_1} = 1;{x_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm: \({x_1} = - 2;{x_2} = 1;{x_3} = - 3\)
b)
\(\eqalign{
& {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - {x^2} + x - 6x + 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) - x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 6} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x - 1 = 0} \cr
{{x^2} - x - 6 = 0} \cr
} } \right. \cr
& x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \cr
& {x^2} - x - 6 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 1 + 24 = 25 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{1 + 5} \over {2.1}} = 3 \cr
& {x_2} = {{1 - 5} \over {2.1}} = - 2 \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = 3;{x_3} = - 2\)
c)
\(\eqalign{
& 2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + \left( {1 - 3\sqrt 2 } \right){x^2} - 3x - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + {x^2} - 3\sqrt 2 {x^2} - 3x - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 {x^2} + x} \right)^2} - 3\left( {\sqrt 2 {x^2} + x} \right) - 4 = 0 \cr} \)
Đặt \(\sqrt 2 {x^2} + x = t,\) ta có phương trình: ${t^2} - 3t - 4 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0;1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) = 0\)
\({t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 4} \over 1} = 4\)
Với \(t = - 1 \Rightarrow \sqrt 2 {x^2} + x + 1 = 0\)
\(\Delta = 1 - 4.\sqrt 2 .1 = 1 - 4\sqrt 2 < 0\) phương trình vô nghiệm
Với \(t = 4 \Rightarrow \sqrt 2 {x^2} + x = 4 \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + x - 4 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {1^2} - 4.\sqrt 2 .\left( { - 4} \right) = 1 + 16\sqrt 2 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } \cr
& {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } } \over {2.\sqrt 2 }} = {{ - \sqrt 2 + \sqrt {2 + 32\sqrt 2 } } \over 4} \cr
& {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } } \over {2.\sqrt 2 }} = {{ - \sqrt 2 - \sqrt {2 + 32\sqrt 2 } } \over 4} \cr} \)
Phương trình đã cho có hai nghiệm.
d)
\(\eqalign{
& \left( {2{x^2} + 7x - 8} \right)\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 5} \right]\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right)^2} - 5\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0 \cr} \)
Đặt \(2{x^2} + 7x - 3 = t,\) ta có phương trình: \({t^2} - 5t - 6 = 0\)
Phương trình có dạng \(a - b + c = 0;1 - \left( { - 5} \right) + \left( { - 6} \right) = 0\)
\({t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 6} \over 1} = 6\)
Với t = -1 ta có:
\(\eqalign{
& 2{x^2} + 7x - 3 = - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 7x - 2 = 0 \cr
& \Delta = {7^2} - 4.2.\left( { - 2} \right) = 49 + 16 = 65 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {65} \cr
& {x_1} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over {2.2}} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over 4} \cr
& {x_2} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over {2.2}} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over 4} \cr} \)
Với t = 6, ta có: \(2{x^2} + 7x - 3 = 6 \Leftrightarrow 2{x^2} + 7x - 9 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0;2 + 7 + \left( { - 9} \right) = 0\)
\({x_1} = 1;{x_2} = - {9 \over 2}\)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
\({x_1} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over 4};{x_2} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over 4};{x_3} = 1;{x_4} = - {9 \over 2}\)
Câu IV.4 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Cho phương trình: \({x^2} + px + 1 = 0\) có hai nghiệm. Xác định p biết rằng tổng các bình phương của hai nghiệm bằng 254.
Giải
Cho phương trình: \({x^2} + px + 1 = 0\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm thì \(\Delta \ge 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {p^2} - 4 \cr
& \Rightarrow {p^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {p^2} \ge 4 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{p \ge 2} \cr
{p \le - 2} \cr} } \right. \cr} \)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - p;{x_1}{x_2} = 1\)
Theo bài ra ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 254\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 254 \cr
& \Leftrightarrow {p^2} - 2.1 = 254 \cr
& \Leftrightarrow {p^2} = 256 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{p = 16} \cr
{p = - 16} \cr} } \right. \cr} \)
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy với p = 16 hoặc p = -16 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 254\)
Câu IV.5 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Cho phương trình: \({x^4} - 13{x^2} + m = 0\). Tìm các giá trị của m để phương trình:
a) Có 4 nghiệm phân biệt
b) Có 3 nghiệm phân biệt
c) Có 2 nghiệm phân biệt
d) Có một nghiệm
e) Vô nghiệm.
Giải
Cho phương trình: \({x^4} - 13{x^2} + m = 0\) (1)
Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0,\) ta có phương trình: \({t^2} - 13t + m = 0\) (2)
\(\Delta = 169 - 4m\)
a) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm số dương khi
\(\left\{ {\matrix{
{\Delta = 169 - 4m > 0} \cr
{{t_1}{t_2} = m > 0} \cr
{{t_1} + {t_2} = 13 > 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m < {{169} \over 4}} \cr
{m > 0} \cr} \Leftrightarrow 0 < m < {{169} \over 4}} \right.} \right.\)
b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 1 nghiệm số dương và 1 nghiệm bằng 0 khi:
\(\left\{ {\matrix{
{\Delta = 169 - 4m > 0} \cr
{{t_1} + {t_2} = 13 > 0} \cr
{{t_1}.{t_2} = m = 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m < {{169} \over 4}} \cr
{m = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow m = 0} \right.\)
c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có nghiệm kép hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm.
Phương trình (2) có một nghiệm số kép khi và chỉ khi \(\Delta = 169 - 4m = 0\)
\( \Leftrightarrow m = {{169} \over 4} \Rightarrow {t_1} = {t_2} = {{13} \over 2}\)
Phương trình (2) có một nghiệm số dương và một nghiệm số âm khi
\(\left\{ {\matrix{
{\Delta = 169 - 4m > 0} \cr
{{t_1}.{t_2} = m < 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m < {{169} \over 4}} \cr
{m < 0} \cr} \Leftrightarrow m < 0} \right.} \right.\)
Vậy với \(m = {{169} \over 4}\) hoặc m < 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
d) Phương trình (1) có một nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm số kép bằng 0 hoặc phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm số âm.
Ta thấy phương trình (2) có nghiệm số kép \({t_1} = {t_2} = {{13} \over 2} \ne 0\)
Nếu phương trình (2) có một nghiệm t1 = 0. Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({t_1} + {t_2} = 13 \Rightarrow {t_2} = 13 - {t_1} = 13 - 0 = 13 > 0\)
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm.
e) Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm số âm hoặc vô nghiệm.
Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm thì theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({t_1} + {t_2} = 13 > 0\) vô lý
Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm.
Suy ra: \(\Delta = 169 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > {{169} \over 4}\)