[2D1-1. 4-4] Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $x^{4} + 1 - x^{2} + x \sqrt{2 m x^{4} + 2 m} \geq 0$ đúng với mọi $x \in ℝ$ là $S = [a; b]$ . Tính $a \sqrt{2} + 8 b$ .

2

B. 3.

C. 6.

D. 5.

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Tác giả: ; Fb: PhanKhanh
Chọn A
Xét bất phương trình:

x^{4} + 1 - x^{2} + x \sqrt{2 m x^{4} + 2 m} \geq 0

(*)

(*)

xác định khi

2 m x^{4} + 2 m \geq 0

\Leftrightarrow 2 m (x^{4} + 1) \geq 0

\Leftrightarrow 2 m \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 0

.
Xét

x \geq 0

\{\begin{cases} x^{4} + 1 - x^{2} = {(x^{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0 \\ x \sqrt{2 m x^{4} + 2 m} \geq 0 \end{cases} \Rightarrow (*)

luôn đúng.
Xét

x < 0

(*)

trở thành:

\sqrt{2 m} \leq \frac{x}{\sqrt{x^{4} + 1}} - \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{x}

.
Đặt

t = \frac{x}{\sqrt{x^{4} + 1}}

t^{'} = \frac{1 - x^{4}}{\sqrt{{(x^{4} + 1)}^{3}}};

t^{'} = 0 \Leftrightarrow x = - 1

BBT
$C:\Users\Administrator\Desktop\Capture.PNG$

\Rightarrow t \in [- \frac{\sqrt{2}}{2}; 0)

(*)

trở thành:

\sqrt{2 m} \leq f (t)

với

f (t) = t - \frac{1}{t}

f^{'} (t) = 1 + \frac{1}{t^{2}} > 0

t \in [- \frac{\sqrt{2}}{2}; 0)

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow \sqrt{2 m} \leq \underset{[- \frac{\sqrt{2}}{2}; 0)}{Min} f (t)

\Leftrightarrow \sqrt{2 m} \leq f (- \frac{\sqrt{2}}{2})

\Leftrightarrow \sqrt{2 m} \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow m \leq \frac{1}{4}

.
Do đó

m \in [0; \frac{1}{4}]

\Rightarrow a = 0, b = \frac{1}{4}

.
Vậy

a \sqrt{2} + 8 b = 2

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi