[2D2-1. 1-3] Cho $f (x) = 5^{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}}$ . Biết rằng: $f (1) . f (2) . . . f (2020) = 5^{\frac{m}{n}}$ với $m, n$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản. Tính $m - n^{2}$

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

m - n^{2} = 2021

m - n^{2} = - 1

m - n^{2} = 1

m - n^{2} = 2020

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Ta có:

f (x) = 5^{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}} = 5^{\sqrt{\frac{x^{2} {(x + 1)}^{2} + x^{2} + {(x + 1)}^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}}} = 5^{\frac{x^{2} + x + 1}{x (x + 1)}} = 5^{1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}}

.
Do đó:

f (1) . f (2) . . . f (2020) = 5^{\frac{m}{n}} \Leftrightarrow 5^{\sum_{x = 1}^{2020} (1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1})} = 5^{\frac{m}{n}} \Leftrightarrow \sum_{x = 1}^{2020} (1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) = \frac{m}{n}

\Leftrightarrow 2021 - \frac{1}{2021} = \frac{4084440}{2021} = \frac{m}{n} \Rightarrow m = 4084440 = 2021^{2} - 1, n = 2021

.
Vậy:

m - n^{2} = (2021^{2} - 1) - 2021^{2} = - 1

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi