[2D2-3. 2-3] Xét các số thực dương $x$ , $y$ thỏa mãn $\log_{9} x = \log {}_{12}y = \log {}_{15}{(x + y)}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

\frac{x}{y} \in (\frac{1}{3}; \frac{1}{2})

\frac{x}{y} \in (\frac{1}{2}; \frac{2}{3})

\frac{x}{y} \in (0; \frac{1}{3})

\frac{x}{y} \in (\frac{2}{3}; 1)

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Đặt

\log_{9} x = \log {}_{12}y = \log {}_{15}{(x + y)} = t

\Rightarrow \{\begin{cases} x = 9^{t} \\ y = 12^{t} \\ x + y = 15^{t} \end{cases}

\Rightarrow 9^{t} + 12^{t} = 15^{t}

. (1)
Chia hai vế của (1) cho

15^{t}

ta được:

{(\frac{3}{5})}^{t} + {(\frac{4}{5})}^{t} =1

. (2)
Xét hàm số

f (t) = {(\frac{3}{5})}^{t} + {(\frac{4}{5})}^{t}

có

f^{'} (t) = {(\frac{3}{5})}^{t} ln \frac{3}{5} + {(\frac{4}{5})}^{t} ln \frac{4}{5} < 0, \forall t \in ℝ

.
Suy ra hàm số

f (t)

nghịch biến trên

ℝ

.
Mặt khác,

f (2) = 1

nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất

t = 2

.
Với

t = 2

thì

\{\begin{cases} x = 9^{2} \\ y = 12^{2} \end{cases}

\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{9^{2}}{12^{2}} = \frac{9}{16} = 0, 5625 \in (\frac{1}{2}; \frac{2}{3})

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi