[2D2-4. 4-3] Cho các số thực $a, b$ thỏa mãn $a \geq b > 1.$ Biết rằng biểu thức $P = \frac{1}{\log_{a b} a} + \sqrt{\log_{a} \frac{a}{b}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $b = a^{k} .$ Khẳng định nào sau đây là sai

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

k \in [2; 3]

k \in (0; 1)

k \in [0; 1]

k \in (0; \frac{3}{2})

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Ta có

a \geq b > 1 \Rightarrow \log_{a} b > 0

P = \frac{1}{\log_{a b} a} + \sqrt{\log_{a} \frac{a}{b}} = \log_{a} a b + \sqrt{\log_{a} a - \log_{a} b} = 1 + \log_{a} b + \sqrt{1 - \log_{a} b} .

Đặt

t = \sqrt{1 - \log_{a} b} (t \geq 0) \Rightarrow \log_{a} b = 1 - t^{2}

. Ta có:

P = - t^{2} + t + 2

trên

[0; + \infty)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại

t = \frac{1}{2} .

Với

t = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} = \sqrt{1 - \log_{a} b} \Leftrightarrow \log_{a} b = \frac{3}{4} \Leftrightarrow b = a^{\frac{3}{4}} \Rightarrow k = \frac{3}{4} .

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi