[2D3-2. 2-3] Biết $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin x - \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x} d x = \frac{- 11}{3} \ln 2 + b \ln 3 + c (b, c \in Q)$ . Tính $\frac{b}{c}$ ?

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

\frac{22}{3}

\frac{22 π}{3}

\frac{22}{3 π}

\frac{22 π}{13}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Đặt:

\frac{3 \sin x - \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x} = \frac{m (2 \sin x + 3 \cos x) + n (2 \cos x - 3 \sin x)}{2 \sin x + 3 \cos x}

= \frac{(2 m - 3 n) \sin x + (3 m + 2 n) \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}

Đồng nhất hệ số ta có:

\{\begin{cases} 2 m - 3 n = 3 \\ 3 m + 2 n = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = \frac{3}{13} \\ n = - \frac{11}{13} \end{cases}

.
Nên:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin x - \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{3}{13} (2 \sin x + 3 \cos x) - \frac{11}{13} (2 \cos x - 3 \sin x)}{2 \sin x + 3 \cos x} d x

= \int_{0}^{\frac{π}{2}} [\frac{3}{13} - \frac{11}{13} . \frac{2 \cos x - 3 \sin x}{2 \sin x + 3 \cos x}] d x = \frac{3}{13} {(x)|}_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{11}{13} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \cos x - 3 \sin x}{2 \sin x + 3 \cos x} d x

= \frac{3 π}{26} - \frac{11}{13} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d (2 \sin x + 3 \cos x)}{2 \sin x + 3 \cos x} d x = \frac{3 π}{26} - \frac{11}{13} \ln |2 \sin x + 3 \cos x| |\begin{matrix} \frac{π}{2} \\ 0 \end{matrix}

= \frac{3 π}{26} - \frac{11}{13} \ln 2 + \frac{11}{13} \ln 3

. Do đó:

\{\begin{cases} b = \frac{11}{13} \\ c = \frac{3 π}{26} \end{cases} \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{11}{13} . \frac{26}{3 π} = \frac{22}{3 π}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi