[2D3-4. 4-3] Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn
$\int_{0}^{1} f (x) d x = 1, f (1) = \cot 1$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} [f (x) \tan^{2} x + f^{'} (x) \tan x] d x$ .

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

- 1

1 - \ln (\cos 1)

C. 0.

1 - \cot 1

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Cách 1:
Ta có

\int_{0}^{1} [f (x) \tan^{2} x + f^{'} (x) \tan x] d x = \int_{0}^{1} f (x) \tan^{2} x d x + \int_{0}^{1} f^{'} (x) \tan x d x

.
Lại có:

\int_{0}^{1} f (x) \tan^{2} x d x = \int_{0}^{1} f (x) (\frac{1}{\cos^{2} x} - 1) d x = \int_{0}^{1} \frac{f (x)}{\cos^{2} x} d x - \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} \frac{f (x)}{\cos^{2} x} d x - 1

\int_{0}^{1} f^{'} (x) \tan x d x = \int_{0}^{1} \tan x d (f (x)) = f (x) . \tan x |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} - \int_{0}^{1} f (x) d (\tan x)

= f (1) . \tan 1 - \int_{0}^{1} \frac{f (x)}{\cos^{2} x} d x = \cot 1. \tan 1 - \int_{0}^{1} \frac{f (x)}{\cos^{2} x} d x = 1 - \int_{0}^{1} \frac{f (x)}{\cos^{2} x} d x

.
Vậy

I = 0.

Cách 2: Dieupt Nguyên
Ta có:

{(f (x) \tan x)}^{'} = f^{'} (x) \tan x + f (x) (\tan^{2} x + 1) = f^{'} (x) \tan x + f (x) \tan^{2} x + f (x)

\Rightarrow f^{'} (x) \tan x + f (x) \tan^{2} x = {[f (x) \tan x]}^{'} - f (x)

.
Suy ra

I = \int_{0}^{1} [f (x) \tan^{2} x + f^{'} (x) \tan x] d x = \int_{0}^{1} \{{[f (x) \tan x]}^{'} - f (x)\} d x

= f (x) \tan x |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} - \int_{0}^{1} f (x) d x = f (1) \tan 1 - 1 = \cot 1. \tan 1 - 1 = 0

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi