[2D4-3. 6-3] Có bao nhiêu số phức có phần thực và phần ảo là các số nguyên, đồng thời thỏa các điều kiện $|z + 4 i| + |z - 6 i| = |z + i| + |z - 3 i|$ và $|z| \leq 2019$ ?

2019

7857

4030

4032

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Đặt

z = a + b i

\forall a, b \in ℤ

Ta có:

\{\begin{cases} |z + 4 i| + |z - 6 i| = |z + i| + |z - 3 i| \\ |z| \leq 2019 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} \sqrt{a^{2} + {(b + 4)}^{2}} + \sqrt{a^{2} + {(b - 6)}^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(b + 1)}^{2}} + \sqrt{a^{2} + {(b - 3)}^{2}} \\ \sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq 2019 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} M A + M B = M C + M D \\ a^{2} + b^{2} \leq 2019^{2} \end{cases}

với

M (a; b)

A (0; - 4)

B (0; 6)

C (0; - 1)

D (0; 3)

\Rightarrow \{\begin{cases} A C = B D = 3 \\ O M^{2} \leq 2019^{2} \end{cases}

Dễ nhận thấy

C

D

nằm giữa

A

B

nên ta có

M A + M B \geq M C + M D

CHỨNG MINH THAM KHẢO
Trường hợp 1:

M

thuộc tia

B A

, nhưng không thuộc đoạn

A B

Ta có

\{\begin{cases} M A + M B = 2 M A + A B \\ M C + M D = 2 M A + 2 A C + C D = 2 M A + A C + B D + C D = 2 M A + A B \end{cases}

Suy ra

M A + M B = M C + M D

Trường hợp 2:

M

thuộc đoạn

A C

không kể

A

C

Ta có

\{\begin{cases} M A + M B = A B \\ M C + M D = 2 M C + C D < 2 A C + C D = A B \end{cases}

Suy ra

M A + M B > M C + M D

Trường hợp 3:

M

thuộc đoạn

C D

Ta có

\{\begin{cases} M A + M B = A B \\ M C + M D = C D \end{cases}

Suy ra

M A + M B > M C + M D

Trường hợp 4:

M

thuộc đoạn

B D

không kể

B

D

Ta có

\{\begin{cases} M A + M B = A B \\ M C + M D = 2 M D + C D < 2 B D + C D = A B \end{cases}

Suy ra

M A + M B > M C + M D

Trường hợp 5:

M

thuộc tia

A B

, nhưng không thuộc đoạn

A B

Ta có

\{\begin{cases} M A + M B = 2 M B + A B \\ M C + M D = 2 M B + 2 B D + C D = 2 M B + B D + A C + C D = 2 M B + A B \end{cases}

Suy ra

M A + M B = M C + M D

Suy ra

M A + M B = M C + M D

khi và chỉ khi

M

nằm trên đường thẳng

A B

và không nằm trong khoảng giữa hai điểm

A

B

\Leftrightarrow \{\begin{cases} M (0; b) \\ b \in [6; 2019] \cup [- 2019; - 4] \end{cases}

(vì

0^{2} + b^{2} \leq 2019^{2}

)
Vậy có tất cả

(2019 - 6 + 1) + (2019 - 4 + 1) = 4030

số phức thỏa đề.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi