[2H3-2. 1-3] Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho điểm $H (1; 2; - 2)$ . Mặt phẳng $(α)$ đi qua $H$ và cắt các trục $O x, O y, O z$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $O A B C$ .

243 π

81 π

\frac{81}{2} π

\frac{243 π}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng

(α)

cắt các trục

O x, O y, O z

lần lượt tại các điểm

A (a; 0; 0)

B (0; b; 0)

C (0; 0; c)

. Do

H

là trực tâm tam giác

A B C

nên

a, b, c \neq 0

.
Khi đó phương trình mặt phẳng

(α)

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

.
Mà

H (1; 2; - 2) \in (α)

nên:

\frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{2}{c} = 1

(1)

.
Ta có:

\vec{A H} = (1 - a; 2; - 2)

\vec{B H} = (1; 2 - b; - 2)

\vec{B C} = (0; - b; c)

\vec{A C} = (- a; 0; c)

.
Lại có

H

là trực tâm tam giác

A B C

, suy ra

\{\begin{cases} \vec{A H} . \vec{B C} = 0 \\ \vec{B H} . \vec{A C} = 0 \end{cases}

hay

\{\begin{cases} b = - c \\ a = - 2 c \end{cases}

(2)

.
Thay

(2)

vào

(1)

ta được:

\frac{1}{- 2 c} + \frac{2}{- c} - \frac{2}{c} = 1 \Leftrightarrow c = - \frac{9}{2}

, khi đó

a = 9, b = \frac{9}{2}

.
Vậy

A (9; 0; 0)

B (0; \frac{9}{2}; 0)

C (0; 0; - \frac{9}{2})

.
Khi đó, giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

O A B C

có phương trình là:

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a^{'} x - 2 b^{'} y - 2 c^{'} z + d = 0

. Với

{(a^{'})}^{2} + {(b^{'})}^{2} + {(c^{'})}^{2} - d > 0

Vì 4 điểm

O, ​ A, B, C

thuộc mặt cầu nên ta có hệ phương trình:

\{\begin{cases} d = 0 \\ - 18 a^{'} + d = - 81 \\ - 9 b^{'} + d = - \frac{81}{4} \\ 9 c^{'} + d = - \frac{81}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d = 0 \\ a^{'} = \frac{9}{2} \\ b^{'} = \frac{9}{4} \\ c^{'} = - \frac{9}{4} \end{cases}

.
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

O A B C

là:

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 9 x - \frac{9}{2} y + \frac{9}{2} z = 0

, có tâm

I (\frac{9}{2}; \frac{9}{4}; - \frac{9}{4})

và bán kính

R = \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(\frac{9}{4})}^{2} + {(\frac{9}{4})}^{2} - 0} = \frac{9 \sqrt{6}}{4}

.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tự diện

O A B C

là

S = 4 π R^{2} = 4 π . {(\frac{9 \sqrt{6}}{4})}^{2} = \frac{243 π}{2}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi