[2H3-2. 4-3] Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho điểm $M (4; 1; 9)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cắt 3 tia $O x, O y, O z$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ (khác $O$ ) sao cho $(O A + O B + O C)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách $d$ từ điểm $I (0; 1; 3)$ đến mặt phẳng $(P)$ .

d = \frac{34}{5}

d = \frac{36}{5}

d = \frac{24}{7}

d = \frac{30}{7}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Tác giả: Lưu Thế Dũng; Fb: Lưu Thế Dũng
Chọn C
Gọi

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)

với

a, b, c > 0

.
Ta có phương trình

(P) : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

và

(O A + O B + O C) = a + b + c

.
Vì

M (4; 1; 9) \in (P) \Rightarrow \frac{4}{a} + \frac{1}{b} + \frac{9}{c} = 1

(1).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunhiacôpxki) ta có

{(2 + 1 + 3)}^{2} = {(\frac{2}{\sqrt{a}} . \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{b}} . \sqrt{b} + \frac{3}{\sqrt{c}} . \sqrt{c})}^{2}

\leq (\frac{4}{a} + \frac{1}{b} + \frac{9}{c}) (a + b + c)

.
Kết hợp với (1) suy ra

a + b + c \geq 36

.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\{\begin{cases} \frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{3}{c} \\ \frac{4}{a} + \frac{1}{b} + \frac{9}{c} = 1 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 12 \\ b = 6 \\ c = 18 \end{cases}

.
Do đó

O A + O B + O C

đạt giá trị nhỏ nhất bằng 36 khi và chỉ khi

a = 12, b = 6, c = 18

.
Khi đó phương trình

(P) : \frac{x}{12} + \frac{y}{6} + \frac{z}{18} = 1

.
Vậy khoảng cách cần tìm là

d = d (I, (P)) = \frac{|\frac{1}{6} + \frac{3}{18} - 1|}{\sqrt{{(\frac{1}{12})}^{2} + {(\frac{1}{6})}^{2} + {(\frac{1}{18})}^{2}}} = \frac{24}{7}

.
Nhận xét.
Có thể sử dụng hệ quả bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dưới dạng sau

\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z} \geq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{x + y + z}

với

a, b, c \in ℝ

và

x, y, z > 0

.
Dấu

" = "

xảy ra khi và chỉ khi

\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}

.
Khi đó

1 = \frac{2^{2}}{a} + \frac{1^{2}}{b} + \frac{3^{2}}{c}

\geq \frac{{(2 + 1 + 3)}^{2}}{a + b + c} = \frac{36}{a + b + c}

suy ra

a + b + c \geq 36

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi