[2H3-3. 7-3] Trong không gian với hệ trục $O x y z$ cho hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 1}{2}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{1}$ . Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ .

\frac{16}{17} π

(đvdt).

\frac{4}{\sqrt{17}} π

(đvdt).

\frac{16}{\sqrt{17}} π

(đvdt).

\frac{4}{17} π

(đvdt).

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Gọi

A; B

là hai điểm thuộc lần lượt và

Δ_{2}

sao cho

A B

là đoạn thẳng vuông góc chung giữa 2 đường. Gọi

M

là trung điểm

A B

. Dễ có mặt cầu tâm

M

bán kính

R = \frac{A B}{2}

tiếp xúc với hai đường thẳng

Δ_{1}

và

Δ_{2}

là mặt cầu có bán kính bé nhất.
Ta có tọa độ theo tham số của

A; B

lần lượt là:

A (2 t_{1} - 1; t_{1} - 1; 2 t_{1} - 1)

và

B (2 t_{2} + 1; 2 t_{2} + 1; t_{2} + 1)

\Rightarrow \vec{A B} (2 t_{2} - 2 t_{1} + 2; 2 t_{2} - t_{1} + 2; t_{2} - 2 t_{1} + 2)

.
Có

\vec{u_{1}} (2; 1; 2)

và

\vec{u_{2}} (2; 2; 1)

lần lươt là 2 vectơ chỉ phương của

Δ_{1}

và

Δ_{2}

nên

\{\begin{cases} \vec{A B} ⊥ \vec{u_{1}} \\ \vec{A B} ⊥ \vec{u_{2}} \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} (2 t_{2} - 2 t_{1} + 2) . 2 + (2 t_{2} - t_{1} + 2) . 1 + (t_{2} - 2 t_{1} + 2) . 2 = 0 \\ (2 t_{2} - 2 t_{1} + 2) . 2 + (2 t_{2} - t_{1} + 2) . 2 + (t_{2} - 2 t_{1} + 2) . 1 = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 t_{2} - 9 t_{1} + 10 = 0 \\ 9 t_{2} - 8 t_{1} + 10 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t_{1} = \frac{10}{17} \\ t_{2} = \frac{- 10}{17} \end{cases}

\Rightarrow A (\frac{3}{17}; \frac{- 7}{17}; \frac{3}{17})

;

B (\frac{- 3}{17}; \frac{- 3}{17}; \frac{7}{17})

\vec{A B} (\frac{- 6}{17}; \frac{4}{17}; \frac{4}{17})

R = \frac{A B}{2} = \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{{(- 6)}^{2} + 4^{2} + 4^{2}}}{17} = \frac{\sqrt{17}}{17}

.
Diện tích mặt cầu cần tính là

S = 4 π . R^{2} = 4. π . \frac{1}{{\sqrt{17}}^{2}} = \frac{4 π}{17}

(đvdt).

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi