[2H3-6. 18-4] Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho $A (1; 2; 3), B (- 3; 4; 5), C (1; 3; - 1)$ và mặt phẳng $(α) : 2 x - y - z = 0$ . Điểm $M (a; b; c) \in (α)$ thỏa $T = M A^{2} - M B^{2} + 2 M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S = a - b + 2 c$ .

S = - 4

S = - 3

S = 2

S = 5

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Gọi

I (x; y; z)

là điểm thỏa mãn

\vec{I A} - \vec{I B} + 2 \vec{I C} = \vec{0}

. Suy ra

I (3; 2; - 2)

.
Ta có:

T = M A^{2} - M B^{2} + 2 M C^{2} = {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} - {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} + 2 {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2}

= 2 M I^{2} + I A^{2} - I B^{2} + 2 I C^{2} + 2 \vec{M I} (\vec{I A} - \vec{I B} + 2 \vec{I C})

= 2 M I^{2} + (I A^{2} - I B^{2} + 2 I C^{2})

.
Do đó

T

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

M I

ngắn nhất hay

M

là hình chiếu của

I

trên

(α)

.
Gọi

d

là đường thẳng qua

I

và vuông góc với

(α)

. Suy ra PTTS

d : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 2 - t \\ z = - 2 - t \end{cases} (t \in ℝ)

.
Và

M = d \cap (α)

2 (3 + 2 t) - (2 - t) - (- 2 - t) = 0

\Leftrightarrow 6 t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 1

.
Suy ra

M (1; 3; - 1)

. Vậy

S = 1 - 3 + 2. (- 1) = - 4

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi