Biết rằng các số thực $a$ , $b$ thay đổi sao cho hàm số $f (x) = - x^{3} + {(x + a)}^{3} + {(x + b)}^{3}$ luôn đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} - 4 a - 4 b + 2$ .

- 2

2

- 4

0

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
TXĐ:

D = ℝ

f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 3 {(x + a)}^{2} + 3 {(x + b)}^{2}

= 3 x^{2} + 6 (a + b) x + 3 a^{2} + 3 b^{2}

.
Do hàm số đồng biến trên

(- \infty; + \infty)

\Leftrightarrow f^{'} (x) \geq 0, \forall x \in ℝ

và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm trên

(- \infty; + \infty)

\Leftrightarrow x^{2} + 2 (a + b) x + a^{2} + b^{2} \geq 0, \forall x \in ℝ

\Leftrightarrow Δ^{'} \leq 0 \Leftrightarrow a b \leq 0

.
Cách 1: Ta có

P = a^{2} + b^{2} - 2 a - 2 b + 4 = {(a + b)}^{2} - 4 (a + b) + 4 - 2 - 2 a b

Hay

P = {(a + b - 2)}^{2} - 2 a b - 2 \geq - 2

, do

a b \leq 0

theo và

{(a + b - 2)}^{2} \geq 0

.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\{\begin{cases} a + b - 2 = 0 \\ a b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 0 \end{cases}

hoặc

\{\begin{cases} a = 0 \\ b = 2 \end{cases}

.
Vậy

\min P = - 2

.
Cách 2: Do

f^{'} (x) \geq 0, \forall x \in ℝ

\Rightarrow f^{'} (- 2) \geq 0

\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - 4 (a + b) + 4 \geq 0

\Rightarrow P = a^{2} + b^{2} - 4 (a + b) + 2 \geq - 2

. Dấu bằng xảy ra khi

\{\begin{cases} a = 2 \\ b = 0 \end{cases}

hoặc

\{\begin{cases} a = 0 \\ b = 2 \end{cases}

.
Vậy

\min P = - 2

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi