Lời giải:Ta có \(y'=m-\frac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.\)
* Với \(m\le 0,\) hàm số nghịch biến trên \(\left[ 0;3 \right]\) nên \(\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( 3 \right)=3m+9\)
Suy ra \(3m+9=20\Leftrightarrow m=\frac{11}{3}\) (không thỏa mãn)
* Với \(m>0,\) ta có:
\(y'=\frac{m{{\left( x+1 \right)}^{2}}-36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.\\
y'=0\Leftrightarrow x+1=\pm \frac{6}{\sqrt{m}}\\\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=-1+\frac{6}{\sqrt{m}} \\
& x=-1-\frac{6}{\sqrt{m}}\left( L \right) \\
\end{align} \right.\)
- Khi \(0\le -1+\frac{6}{\sqrt{m}}\le 3\Leftrightarrow \frac{9}{4}\le m\le 36,\) ta có bảng biến thiên của hàm số:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra
\(\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( -1+\frac{6}{\sqrt{m}} \right)=-m+12\sqrt{m}=20\\\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& m=4 \\
& m=100\left( L \right) \\
\end{align} \right..\)
- Khi \(-1+\frac{6}{\sqrt{m}}>3\Leftrightarrow m<\frac{9}{4},\) ta có bảng biến thiên của hàm số:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra \(\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( 3 \right)=3m+9=20\Leftrightarrow m=\frac{11}{9}\) (loại).
Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 20 khi \(m=4.\)
Chọn đáp án C.
