Biết tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{1 + \cos 2 x} d x = a π + b \ln 2$ với $a, b$ là các số hữu tỷ. Tính $T = 16 a - 8 b$ ?

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

T = 4

T = 5

T = 2

T = - 2

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Ta có

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{2 \cos^{2} x} d x

.
Đặt

\{\begin{cases} u = \frac{x}{2} \\ d v = \frac{1}{\cos^{2} x} d x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{2} d x \\ v = \tan x \end{cases}

I = {\frac{x}{2} \tan x|}_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan x d x = \frac{π}{8} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} d x = \frac{π}{8} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d (\cos x)}{\cos x} = \frac{π}{8} + {\frac{1}{2} \ln |\cos x||}_{0}^{\frac{π}{4}}

= \frac{π}{8} + \frac{1}{2} \ln \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{π}{8} - \frac{1}{4} \ln 2

suy ra

a = \frac{1}{8}, b = \frac{- 1}{4} \Rightarrow T = 2 + 2 = 4

Vậy chọn A

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi