Cho $\int_{1}^{e} \frac{2 \ln x + 1}{x {(\ln x + 2)}^{2}} d x = \ln \frac{a}{b} - \frac{c}{d}$ với $a$ , $b$ , $c$ là các số nguyên dương, biết $\frac{a}{b}; \frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính giá trị $a + b + c + d$ ?

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

18

15

16

17

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Đặt

t = \ln x \Rightarrow d t = \frac{d x}{x}

.
Đổi cận:

x = 1 \Rightarrow t = 0; x = e \Rightarrow t = 1

. Khi đó:

I = \int_{1}^{e} \frac{2 \ln x + 1}{x {(\ln x + 2)}^{2}} d x = \int_{0}^{1} \frac{2 t + 1}{{(t + 2)}^{2}} d t

= \int_{0}^{1} (\frac{- 3}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{2}{t + 2}) d t = {(\frac{3}{t + 2} + 2 \ln |t + 2|)|}_{0}^{1} = \ln \frac{9}{4} - \frac{1}{2}

.
Vậy

a + b + c + d = 9 + 4 + 1 + 2 = 16

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi