Cho các số thực $a$ , $b$ , $c$ thoả mãn $\{\begin{matrix} a + b + c < - 1 \\ 4 a - 2 b + c > 8 \\ b c < 0 \end{matrix}$ . Đặt $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ . Số điểm cực trị của hàm số $y = |f (|x|)|$ lớn nhất có thể có là

A.2.

B.12.

C.5.

D.7.

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Ta có:

f (1) = a + b + c + 1 < 0

;

f (- 2) = 4 a - 2 b + c - 8 > 0

\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty

nên

\exists p > 1

sao cho

f (p) > 0

\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty

nên

\exists q < - 2

sao cho

f (q) < 0

.
Suy ra

\{\begin{matrix} f (q) . f (- 2) < 0 \\ f (- 2) . f (1) < 0 \\ f (1) . f (p) < 0 \end{matrix}

. Do đó, phương trình

f (x) = 0

có

3

nghiệm phân biệt

α

β

γ

với

α \in (q; - 2)

β \in (- 2; 1)

và

γ \in (1; p)

.
Vậy

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b = 0

có 2 nghiệm phân biệt

x_{1}

x_{2}

.
* Trường hợp 1:

b > 0

c < 0

Ta có

c < 0 \Rightarrow f (0) < 0 \Rightarrow f (- 2) . f (0) < 0 \Rightarrow β \in (- 2; 0)

và

x_{1} . x_{2} = \frac{b}{3} > 0

Đồ thị minh hoạ như sau:
Suy ra hàm số

y = |f (|x|)|

có 3 điểm cực trị.
* Trường hợp 2:

b < 0

c > 0

Ta có

c > 0 \Rightarrow f (0) > 0 \Rightarrow f (0) . f (1) < 0 \Rightarrow β \in (0; 1)

và

x_{1} . x_{2} = \frac{b}{3} < 0

Đồ thị minh hoạ như sau:
Suy ra hàm số

y = |f (|x|)|

có

7

điểm cực trị.

Vậy đáp án đúng là D.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi