Cho các số thực dương $a$ , $b$ thỏa mãn $2 (a^{2} + b^{2}) + a b = (a + b) (a b + 2)$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 4 (\frac{a^{3}}{b^{3}} + \frac{b^{3}}{a^{3}}) - 9 (\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}})$ thuộc khoảng nào?

(- 6; - 5)

(- 10; - 9)

(- 11; - 10)

(- 5; - 4)

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Ta có:

P = 4 [{(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})}^{3} - 3 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})] - 9 [{(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})}^{2} - 2] = 4 {(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})}^{3} - 9 {(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})}^{2} - 12 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + 18

.
Theo giả thiết:

2 (a^{2} + b^{2}) + a b = (a + b) (a b + 2)

. Chia cả 2 vế của đẳng thức cho

a b

, ta được:

2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + 1 = (a + b) + 2 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

.
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương

(a + b)

và

2 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

, ta được:

(a + b) + 2 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 2 \sqrt{(a + b) . 2 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}

\Rightarrow 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + 1 \geq 2 \sqrt{2 (2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a})}

(1)

.
Đặt

t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} (t > 0)

thì

(1)

trở thành:

2 t + 1 \geq 2 \sqrt{2 (2 + t)}

\Leftrightarrow {(2 t + 1)}^{2} \geq 8 (2 + t) \Leftrightarrow 4 t^{2} - 4 t - 15 \geq 0 \Leftrightarrow t \geq \frac{5}{2}

.
Đẳng thức xảy ra

\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{5}{2} \\ (a + b) = 2 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \\ 2 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + 1 = (a + b) + 2 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{5}{2} \\ a + b = 2 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 3 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = \frac{5}{2} a b \\ a + b = 3 \\ \frac{a + b}{a b} = \frac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 5 \\ a + b = 3 \\ a . b = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases} \lor \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 1 \end{cases}

.
Khi đó,

P = P (a; b)

trở thành

f (t) = 4 t^{3} - 9 t^{2} - 12 t + 18

t \in [\frac{5}{2}; + \infty)

f^{'} (t) = 12 t^{2} - 18 t - 12 = 6 (t - 2) (2 t + 1) > 0

\forall t \geq \frac{5}{2}

\Rightarrow f (t)

đồng biến trên

[\frac{5}{2}; + \infty)

\Rightarrow \forall t \geq \frac{5}{2}

f (t) \geq f (\frac{5}{2})

\Rightarrow \min_{[\frac{5}{2}; + \infty)} f (t) = f (\frac{5}{2}) = - \frac{23}{4}

\Rightarrow \min P = P (1; 2) = P (2; 1) = - 5, 75

.
Vậy

\min P \in (- 6; - 5)

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi