Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $5 \log_{2}^{2} a + 16 \log_{2}^{2} b + 27 \log_{2}^{2} c = 1.$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $S = \log_{2} a \log_{2} b + \log_{2} b \log_{2} c + \log_{2} c \log_{2} a$ bằng

\frac{1}{16} .

\frac{1}{12} .

\frac{1}{9} .

\frac{1}{8} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải. Đặt

x = \log_{2} a, y = \log_{2} b, z = \log_{2} c .

Giả thiết trở thành

5 x^{2} + 16 y^{2} + 27 z^{2} = 1.

Ta đi tìm GTLN của

S = x y + y z + z x .

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có

11 x^{2} + 22 y^{2} + 33 z^{2} = \frac{x^{2}}{\frac{1}{11}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{22}} + \frac{z^{2}}{\frac{1}{33}} \geq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{\frac{1}{11} + \frac{1}{22} + \frac{1}{33}} = 6 {(x + y + z)}^{2} .

Suy ra

5 x^{2} + 16 y^{2} + 27 z^{2} \geq 12 (x y + y z + z x) .

Do đó

S \leq \frac{1}{12} .

Chọn B
Cách 2. Ghép cặp và dùng BĐT Cauchy. Cụ thể

\{\begin{cases} 3 x^{2} + 12 y^{2} \geq 12 x y \\ 2 x^{2} + 18 z^{2} \geq 12 x z \\ 4 y^{2} + 9 z^{2} \geq 12 y z \end{cases} \Rightarrow

(đpcm).

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi