Cho dãy số $(u_{n})$ , được xác định bởi $u_{1} = \frac{2}{3}$ và $u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2 (2 n + 1) u_{n} + 1}$ . Tính tổng $2017$ số hạng đầu tiên của dãy số đó.

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

\frac{4034}{4035}

\frac{2017}{2016}

\frac{2016}{2017}

\frac{4035}{4034}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Ta có

u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2 (2 n + 1) u_{n} + 1}

\Leftrightarrow u_{n + 1} [2 (2 n + 1) u_{n} + 1] = u_{n}

\Leftrightarrow 2 (2 n + 1) = \frac{1}{u_{n + 1}} - \frac{1}{u_{n}}

.
Đặt

v_{n} = \frac{1}{u_{n}}

, ta có. Suy ra

v_{n} = v_{n - 1} + 4 (n - 1) + 2

= [v_{n - 2} + 4 (n - 2) + 2] + 4 (n - 1) + 2

= . . . = v_{1} + 2 n (n - 1) + 2 (n - 1)

= 2 n^{2} - \frac{1}{2} .

Do đó

u_{n} = \frac{2}{4 n^{2} - 1} = \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1}

.
Vậy

S_{2017} = 1 - \frac{1}{4035} = \frac{4034}{4035}

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi