Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn: $\log_{2} u_{1} \log_{2} u_{5} - 2 \log_{2} u_{1} + 2 \log_{2} u_{5} = 20$ và $u_{n} = 2 u_{n - 1}; u_{1} > 1$ với mọi $n \geq 2$ . Tính tổng tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn $2018^{29} < u_{n} < 2018^{30}$ .

3542

3553

3870

4199

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
+ Dãy số

(u_{n})

có

u_{n} = 2 u_{n - 1}

với mọi

n \geq 2

\Rightarrow

dãy số

(u_{n})

là cấp số nhân với số hạng đầu là

u_{1} > 1

và công bội

q = 2

\Rightarrow u_{5} = u_{1} {. 2}^{4} = 16 u_{1} .

\log_{2} u_{1} \log_{2} u_{5} - 2 \log_{2} u_{1} + 2 \log_{2} u_{5} = 20

\Leftrightarrow \log_{2} u_{1} \log_{2} (16 u_{1}) - 2 \log_{2} u_{1} + 2 \log_{2} (16 u_{1}) = 20

\Leftrightarrow \log_{2} u_{1} (4 + \log_{2} u_{1}) - 2 \log_{2} u_{1} + 2 (4 + \log_{2} u_{1}) = 20

\Leftrightarrow \log_{2}^{2} u_{1} + 4 \log_{2} u_{1} - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{2} u_{1} = 2 \\ \log_{2} u_{1} = - 6 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} u_{1} = 4 \\ u_{1} = 2^{- 6} = \frac{1}{64} \end{array}

.
Vì

u_{1} > 1

nên

u_{1} = 4

là thỏa mãn.
+

(u_{n})

là cấp số nhân với số hạng đầu là

u_{1} = 4

và công bội

q = 2

có số hạng tổng quát

u_{n} = {4. 2}^{n - 1} = 2^{n + 1}

2018^{29} < u_{n} < 2018^{30}

\Rightarrow 2018^{29} < 2^{n + 1} < 2018^{30}

\Leftrightarrow \log_{2} 2018^{29} < n + 1 < \log_{2} 2018^{30}

\Leftrightarrow 29 \log_{2} 2018 - 1 < n < 30 \log_{2} 2018 - 1

(\approx 317, 38 < n < \approx 328, 36)

Vì

n \geq 2, n \in N

nên

318 \leq n \leq 328 \Rightarrow n \in \{318; 319; . . .; 328\} .

Tổng tất cả các giá trị của

n

thỏa mãn

2018^{29} < u_{n} < 2018^{30}

là

S = 318 + 319 + . . . + 328 = \frac{11}{2} (318 + 328) = 3553.

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi