Cho dãy số $(U_{n})$ xác định bởi: $U_{1} = \frac{1}{3}$ và $U_{n + 1} = \frac{n + 1}{3 n} . U_{n}$ . Tổng $S = U_{1} + \frac{U_{2}}{2} + \frac{U_{3}}{3} + . . . + \frac{U_{10}}{10}$ bằng:

\frac{1}{243}

\frac{3280}{6561}

\frac{29524}{59049}

\frac{25942}{59049}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Theo đề ta có:

U_{n + 1} = \frac{n + 1}{3 n} . U_{n}

\Leftrightarrow \frac{U_{n + 1}}{n + 1} = \frac{1}{3} \frac{U_{n}}{n}

mà

U_{1} = \frac{1}{3}

hay

\frac{U_{1}}{1} = \frac{1}{3}

Nên ta có

\frac{U_{2}}{2} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} = {(\frac{1}{3})}^{2}

;

\frac{U_{3}}{3} = \frac{1}{3} . {(\frac{1}{3})}^{2} = {(\frac{1}{3})}^{3}

; … ;

\frac{U_{10}}{10} = {(\frac{1}{3})}^{10}

.
Hay dãy

(\frac{U_{n}}{n})

là một cấp số nhân có số hạng đầu

U_{1} = \frac{1}{3}

, công bội

q = \frac{1}{3}

.
Khi đó

S = U_{1} + \frac{U_{2}}{2} + \frac{U_{3}}{3} + . . . + \frac{U_{10}}{10}

= \frac{1}{3} π {. 2}^{2} . \sqrt{3}

= \frac{3^{10} - 1}{{2. 3}^{10}}

= \frac{59048}{{2. 3}^{10}}

= \frac{29524}{59049}

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi