Cho đồ thị : $y = f (x) = \sqrt{x}$ . Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , đường thẳng $x = 9$ và trục $O x$ . Cho điểm $M$ thuộc đồ thị và điểm $A (9; 0)$ . Gọi $V_{1}$ là thể tích khối tròn xoay có được khi cho $(H)$ quay quanh trục $O x$ , $V_{2}$ là thể tích khối tròn xoay có được khi cho tam giác $A O M$ quay quanh trục $O x$ . Biết rằng $V_{1} = 2 V_{2}$ . Tính diện tích $S$ phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và đường thẳng $O M$ .

S = \frac{4}{3}

S = 3

S = \frac{3 \sqrt{3}}{2}

S = \frac{27 \sqrt{3}}{16}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
cắt trục

O x

tại

O (0; 0)

\Rightarrow V_{1} = π \int_{0}^{9} {(\sqrt{x})}^{2} d x = π \int_{0}^{9} x d x = π {\frac{x^{2}}{2}|}_{0}^{9} = \frac{81 π}{2}

Điểm

M \in

\Rightarrow M (m; \sqrt{m})

.
Tam giác

O M H

quay quanh trục

O x

được khối nón tròn xoay có chiều cao

h_{1} = m

, bán kính đường tròn đáy

R_{1} = \sqrt{m}

. Thể tích là

V_{(N_{1})} = \frac{1}{3} m . π {(\sqrt{m})}^{2} = \frac{m^{2} π}{3}

.
Tam giác

A M H

quay quanh trục

O x

được khối nón tròn xoay có chiều cao

h_{2} = 9 - m

, bán kính đường tròn đáy

R_{2} = \sqrt{m}

. Thể tích là

V_{(N_{2})} = \frac{1}{3} (9 - m) . π {(\sqrt{m})}^{2} = \frac{(9 - m) m π}{3}

.
Suy ra

V_{2} = V_{(N_{1})} + V_{(N_{2})} = 3 m π

.
Theo đề bài

V_{1} = 2 V_{2}

\Rightarrow \frac{81 π}{2} = 2. 3 m π

\Rightarrow m = \frac{27}{4}

\Rightarrow M (\frac{27}{4}; \sqrt{\frac{27}{4}})

.
Phương trình đường thẳng

O M

\frac{x - 0}{(\frac{27}{4})} = \frac{y - 0}{(\sqrt{\frac{27}{4}})}

\Leftrightarrow y = \frac{2 \sqrt{3}}{9} x

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và đường thẳng

O M

là hình phẳng giới hạn bởi :

y = f (x) = \sqrt{x}

, đường thẳng

O M

y = \frac{2 \sqrt{3}}{9} x

và hai đường thẳng

x = 0; x = \frac{27}{4}

, có diện tích:

S = \int_{0}^{\frac{27}{4}} (\sqrt{x} - \frac{2 \sqrt{3}}{9} x) d x = {(\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} - \frac{\sqrt{3}}{9} x^{2})|}_{0}^{\frac{27}{4}} = \frac{27 \sqrt{3}}{16}

Vậy đáp án đúng là D.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi