Cho $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x + 1}{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ thỏa mãn $F (1) = \frac{1}{2}$ . Giá trị của biểu thức $S = F (1) + F (2) + F (3) + \dots + F (2019)$ bằng

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

\frac{2019}{2020}

\frac{2019. 2021}{2020}

2018 \frac{1}{2020}

- \frac{2019}{2020}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có

f (x) = \frac{2 x + 1}{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}} = \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}

.
Đặt

t = x (x + 1) = x^{2} + x

\Rightarrow d t = (2 x + 1) d x

.
Khi đó

F (x) = \int f (x) d x = \int \frac{1}{t^{2}} d t = - \frac{1}{t} + C = - \frac{1}{x (x + 1)} + C

.
Mặt khác,

F (1) = \frac{1}{2}

\Rightarrow - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2}

\Rightarrow C = 1

.
Vậy

F (x) = - \frac{1}{x (x + 1)} + 1

.
Suy ra

\begin{matrix} S = F (1) + F (2) + F (3) + \dots + F (2019) = - (\frac{1}{1. 2} + \frac{1}{2. 3} + \frac{1}{3. 4} + . . . + \frac{1}{2019. 2020}) + 2019 \\ = - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{2019} - \frac{1}{2020}) + 2019 = - (1 - \frac{1}{2020}) + 2019 \\ = 2018 + \frac{1}{2020} = 2018 \frac{1}{2020} . \end{matrix}

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi