Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 1\\
y = 1 - t\\
z = 2t
\end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 2t\\
y = 3\\
z = t
\end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\). Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình là
A.A.
x + 5y + 2z + 12 = 0
B.B.
x + 5y - 2z + 12 = 0
C.C.
x - 5y + 2z - 12 = 0
D.D.
x + 5y + 2z - 12 = 0
Đáp án và lời giải
Đáp án:D
Lời giải:Dễ dàng nhận thấy hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau. Ý tưởng ở đây là tìm hai điểm \({H_1} \in \left( {{d_1}} \right)\); \({H_2} \in \left( {{d_2}} \right)\) sao cho H1H2 là đường vuông góc chung của d1, d2.
\(\begin{array}{l}
{H_1} \in \left( {{d_1}} \right);{H_2} \in \left( {{d_2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{H_1}\left( {2 + a;1 - a;2a} \right)\\
{H_2}\left( {2 - 2b;3;b} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \overrightarrow {{H_1}{H_2}} = \left( { - 2b - a;a + 2;b - 2a} \right)\\
\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left( {1; - 1;2} \right);\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( { - 2;0;1} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
{H_1}{H_2} \bot {d_1}\\
{H_1}{H_2} \bot {d_2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {{H_1}{H_2}} .\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = 0\\
\overrightarrow {{H_1}{H_2}} .\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( { - 2b - a} \right) - \left( {a + 2} \right) + 2\left( {b - 2a} \right) = 0\\
- 2.\left( { - 2b - a} \right) + 0\left( {a + 2} \right) + \left( {b - 2a} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 6a - 2 = 0\\
5b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{ - 1}}{3}\\
b = 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {H_1}\left( {\frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{{ - 2}}{3}} \right);{H_2}\left( {2;3;0} \right)
\end{array}\)
Mặt phẳng cần tìm (P) đi qua trung điểm M của H1H2 và vuông góc với H1H2 nên:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
M\left( {\frac{{11}}{6};\frac{{13}}{6};\frac{{ - 1}}{3}} \right) \in \left( P \right)\\
\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \overrightarrow {{H_1}{H_2}} = \left( {\frac{1}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( P \right):x + 5y + 2z - 12 = 0
\end{array}\)
Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.
