Lời giải:Thay \(x=0\) vào đẳng thức \({{f}^{3}}\left( 2-x \right)-2{{f}^{2}}\left( 2+3x \right)+{{x}^{2}}g\left( x \right)+36x=0\) ta có:
\({f^3}\left( 2 \right) - 2{f^2}\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( 2 \right) = 0\\
f\left( 2 \right) = 2
\end{array} \right..\)
Lấy đạo hàm theo \(x\) hai vế của đẳng thức trên ta có:
\(-3{{f}^{2}}\left( 2-x \right).f'\left( 2-x \right)-12.f\left( 2+3x \right).f'\left( 2+3x \right)+2xg\left( x \right)+{{x}^{2}}.g'\left( x \right)+36=0.\)
Thay \(x=0\) vào đẳng thức trên ta có: \(-3{{f}^{2}}\left( 2 \right).f'\left( 2 \right)-12f\left( 2 \right).f'\left( 2 \right)+36=0\left( * \right)\)
Dễ thấy \(f\left( 2 \right)=0\) không thỏa mãn \(\left( * \right).\)
Khi đó, với \(f\left( 2 \right)=2\) ta được: \(-12.f'\left( 2 \right)-24.f'\left( 2 \right)+36=0\Rightarrow f'\left( 2 \right)=1.\)
Với \(f\left( 2 \right)=2\Rightarrow f'\left( 2 \right)=1.\) Khi đó \(A=3f\left( 2 \right)+4f'\left( 2 \right)=10.\)
