Cho hai hàm số $f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ với $a \neq 0$ và $g (x) = p x^{2} + q x - 3$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số $y = g (x)$ tại bốn điểm có hoành độ lần lượt là $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ và $m$ . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x) - g (x)$ tại điểm có hoành độ $x = - 2$ có hệ số góc bằng $- \frac{15}{2}$ . Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = f (x)$ và $y = g (x)$ . Diện tích của hình $(H)$ bằng

\frac{1553}{120}

\frac{1553}{240}

\frac{1553}{60}

\frac{1553}{30}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Đặt

h (x) = f (x) - g (x) = a x^{4} + b x^{3} + (c - p) x^{2} + (d - q) x + (e + 3)

h^{'} (x) = 4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 (c - p) x + (d - q)

.
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị

y = f (x)

và

y = g (x)

là:

f (x) = g (x) \Leftrightarrow h (x) = 0 \Leftrightarrow a x^{4} + b x^{3} + (c - p) x^{2} + (d - q) x + e + 3 = 0

.
Đồ thị hàm số

y = f (x)

đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số

y = g (x)

tại bốn điểm có hoành độ lần lượt là

- 2

;

- 1

;

1

và

m

nên

f (0) = h (- 2) = h (- 1) = h (1) = h (m) = 0

\Leftrightarrow \{\begin{cases} e = 0 \\ 16 a - 8 b + 4 (c - p) - 2 (d - q) = - 3 (1) \\ a - b + (c - p) - (d - q) = - 3 (2) \\ a + b + (c - p) + (d - q) = - 3 (3) \\ a m^{4} + b m^{3} + (c - p) m^{2} + (d - q) m + 3 = 0 (4) \end{cases}

Mặt khác, tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = h (x)

tại điểm có hoành độ

x = - 2

có hệ số góc bằng

- \frac{15}{2}

nên

h^{'} (- 2) = - \frac{15}{2} \Leftrightarrow - 32 a + 12 b - 4 (c - p) + (d - q) = - \frac{15}{2} (5)

.
Từ

(1)

(2)

(3)

(5)

, ta tìm được:

\{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = - \frac{1}{2} \\ c - p = - \frac{7}{2} \\ d - q = \frac{1}{2} \end{cases}

.
Thay vào

(4)

\frac{1}{2} m^{4} - \frac{1}{2} m^{3} - \frac{7}{2} m^{2} + \frac{1}{2} m + 3 = 0 \Leftrightarrow (m - 3) (m - 1) (m + 1) (m + 2) = 0

\Leftrightarrow m = 3

.
Ngoài ra, ta cũng có:

h (x) = \frac{1}{2} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 3

.
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là

S = \int_{- 2}^{3} |h (x)| d x = \int_{- 2}^{- 1} |h (x)| d x + \int_{- 1}^{1} |h (x)| d x + \int_{1}^{3} |h (x)| d x

= |\int_{- 2}^{- 1} h (x) d x| + |\int_{- 1}^{1} h (x) d x| + |\int_{1}^{3} h (x) d x| = |- \frac{113}{120}| + |\frac{58}{15}| + |- \frac{122}{15}| = \frac{1553}{120}

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi