Cho hai hàm số $y = \frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 3}$ và $y = |x + 2| - x - m$ ( $m$ là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $(C_{1})$ và $(C_{2})$ . Tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để $(C_{1})$ và $(C_{2})$ cắt nhau tại đúng $4$ điểm phân biệt là

[- 2; + \infty)

(- \infty : - 2)

(- 2 : + \infty)

(- \infty; - 2]

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải: Lời giải
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm:

\frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 3} = |x + 2| - x - m

.
Tập xác định:

D = ℝ \ \{- 3; - 2; - 1; 0\}

Với điều kiện trên, phương trình trở thành

4 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3} = |x + 2| - x - m (*)

\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} - 4 + |x + 2| - x = m

.
Xét hàm số

f (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} - 4 + |x + 2| - x

với tập xác định

D

. Ta có

f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 2}{|x + 2|} - 1 < 0, \forall x \in D

.
Bảng biến thiên

Để

(C_{1})

và

(C_{2})

cắt nhau tại đúng

4

điểm phân biệt thì phương trình

(*)

có 4 nghiệm phân biệt. Từ bảng biến thiên suy ra tất cả các giá trị

m

cần tìm là

m \leq - 2

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi