Lời giải:\(\begin{array}{l}
{\log _{\sqrt 3 }}({y^2} + 8y + 16) + {\log _2}\left[ {(5 - x)\left( {1 + x} \right)} \right] = 2{\log _3}\frac{{5 + 4x - {x^2}}}{3} + {\log _2}{(2y + 8)^2}\\
\Leftrightarrow 2{\log _3}{(y + 4)^2} + {\log _2}\left[ {5 + 4x - {x^2}} \right] = 2{\log _3}\left( {5 + 4x - {x^2}} \right) + {\log _2}{(y + 4)^2}\\
\Leftrightarrow {\log _3}{(y + 4)^2} = {\log _3}\left( {5 + 4x - {x^2}} \right) \Leftrightarrow {(y + 4)^2} = \left( {5 + 4x - {x^2}} \right)\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 8y + 11 = 0
\end{array}\)
Ta có \({x^2} + {y^2} + 11 = 4\left( {x - 2y} \right) \le 4\sqrt {\left( {{1^2} + {2^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\sqrt 5 - 3 \le \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 2\sqrt 5 + 3\\
\Rightarrow 2\sqrt 5 - 3 - m \le \sqrt {{x^2} + {y^2}} - m \le 2\sqrt 5 + 3 - m\\
\Rightarrow P = \max \left\{ {\left| {2\sqrt 5 - 3 - m} \right|;\left| {2\sqrt 5 + 3 - m} \right|} \right\} = \left| {2\sqrt 5 - m} \right| + 3 \le 10\\
\Leftrightarrow 2\sqrt 5 - 7 \le m \le 2\sqrt 5 + 7
\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ { \pm 2; \pm 1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11} \right\}\) có 14 phần tử và S có tất cả \({2^{14}} - 1 = 16383\) tập con khác rỗng.
