Cho hàm số có đồ thị là . Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:

Xét điểm . Cách 1: Đường thẳng đi qua , hệ số góc có phương trình: . là tiếp tuyến của hệ có nghiệm Thế vào phương trình thứ nhất, ta được: hoặc Để từ kẻ được ba tiếp tuyến thì phải có nghiệm , đồng thời phải có giá trị khác nhau, khi đó phải có hai nghiệm phân biệt khác , đồng thời phải có giá trị khác nhau và khác phải có hai nghiệm phân biệt khác khi và chỉ khi: Với điều kiện , gọi là hai nghiệm của , khi đó hệ số góc của ba tiếp tuyến là . Để hai trong ba tiếp tuyến này vuông góc với nhau và Mặt khác theo Định lí Viet . Do đó thỏa điều kiện , kiểm tra lại ta thấy Vậy, là điểm cần tìm. Cách 2: Gọi . Tiếp tuyến của tại có phương trình : . đi qua Từ vẽ được đến ba tiếp tuyến có hai nghiệm phân biệt khác , và có hai giá trị khác nhau và khác điều đó xảy ra khi và chỉ khi: . Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài toán (trong đó là hai nghiệm của phương trình ) . Vậy .