Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm tới cấp hai liên tục trên $[0; 3]$ thỏa mãn $f (3) = 4$ và ${(f^{'} (x))}^{2} = 8 x^{2} - 20 - 4 f (x), \forall x \in [0; 3]$ . Tích phân $\int_{0}^{3} f (x) d x$ bằng

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

9

- 6

21

12

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Có

\int_{0}^{3} {(f^{'} (x))}^{2} d x = \int_{0}^{3} (8 x^{2} - 20 - 4 f (x)) d x = 12 - 4 \int_{0}^{3} f (x) d x

.
Đặt

\{\begin{cases} u = f (x) \\ d v = d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = f^{'} (x) d x \\ v = x \end{cases}

\Rightarrow \int_{0}^{3} f (x) d x = x f (x) |\begin{array}{l} 3 \\ 0 \end{array} - \int_{0}^{3} x f^{'} (x) d x = 3 f (3) - \int_{0}^{3} x f^{'} (x) d x = 12 - \int_{0}^{3} x f^{'} (x) d x

.
Thay vào đẳng thức trên ta có

\int_{0}^{3} {(f^{'} (x))}^{2} d x = 12 - 4 \int_{0}^{3} f (x) d x = 12 - 4 (12 - \int_{0}^{3} x f^{'} (x) d x)

\Leftrightarrow \int_{0}^{3} {(f^{'} (x))}^{2} d x - 4 \int_{0}^{3} x f^{'} (x) d x + 36 = 0

\Leftrightarrow \int_{0}^{3} {(f^{'} (x) - 2 x)}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = 2 x, \forall x \in [0; 3]

\Rightarrow f (x) = x^{2} + C, f (3) = 4 \Rightarrow C = - 5.

Do đó

\int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{3} (x^{2} - 5) d x = - 6

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi