Cho hàm số $f (x)$ có $f (\frac{π}{2}) = 0$ và $f^{'} (x) = \sin x \sin^{2} 2 x, \forall x \in ℝ$ Khi đó $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ bằng

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Ta có

f^{'} (x) = \sin x . \sin^{2} 2 x, \forall x \in ℝ

. Suy ra

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x

= \frac{1}{2} \int \sin x (1 - \cos 4 x) d x = \frac{1}{2} \int \sin x d x - \frac{1}{2} \int \sin x \cos 4 x d x = \frac{1}{2} \int \sin x d x - \frac{1}{4} \int (\sin 5 x - \sin 3 x) d x

= - \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{20} \cos 5 x - \frac{1}{12} \cos 3 x + C, \forall x \in ℝ

. Mà

f (\frac{π}{2}) = 0

nên ta có

C = 0

.
Suy ra

f (x) = - \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{20} \cos 5 x - \frac{1}{12} \cos 3 x, \forall x \in ℝ

.
Khi đó:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (- \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{20} \cos 5 x - \frac{1}{12} \cos 3 x) d x

{= (- \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{100} \sin 5 x - \frac{1}{36} \sin 3 x)|}_{0}^{\frac{π}{2}} = - \frac{104}{225}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi