Cho hàm số $f (x)$ không âm, có đạo hàm trên đoạn $[0; 1]$ và thỏa mãn $f (1) = 1$ , $[2 f (x) + 1 - x^{2}] f^{'} (x) = 2 x [1 + f (x)]$ , $\forall x \in [0; 1]$ . Tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

A.1.

B.2.

\frac{1}{3}

\frac{3}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Xét trên đoạn

[0; 1]

, theo đề bài:

[2 f (x) + 1 - x^{2}] f^{'} (x) = 2 x [1 + f (x)]

\Leftrightarrow 2 f (x) . f^{'} (x) = 2 x + (x^{2} - 1) . f^{'} (x) + 2 x . f (x)

\Leftrightarrow {[f^{2} (x)]}^{'} = {[x^{2} + (x^{2} - 1) . f (x)]}^{'}

\Leftrightarrow f^{2} (x) = x^{2} + (x^{2} - 1) . f (x) + C

(1)

.
Thay

x = 1

vào

(1)

ta được:

f^{2} (1) = 1 + C \Leftrightarrow C = 0

.
Do đó,

(1)

trở thành:

f^{2} (x) = x^{2} + (x^{2} - 1) . f (x)

\Leftrightarrow f^{2} (x) - 1 = x^{2} - 1 + (x^{2} - 1) . f (x)

\Leftrightarrow [f (x) - 1] . [f (x) + 1] = (x^{2} - 1) . [f (x) + 1]

\Leftrightarrow f (x) = x^{2}

.
Vậy

\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} x^{2} d x = {\frac{x^{3}}{3}|}_{0}^{1} = \frac{1}{3}

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi