Cho hàm số $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 \cos x - 1}{\sin^{2} x}$ trên khoảng $(0; π)$ . Biết rằng giá trị lớn nhất của $F (x)$ trên khoảng $(0; π)$ là $\sqrt{3}$ . Chon mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

F (\frac{π}{6}) = 3 \sqrt{3} - 4

F (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

F (\frac{π}{3}) = - \sqrt{3}

F (\frac{5 π}{6}) = 3 - \sqrt{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Ta có:

F (x) = \int \frac{2 \cos x - 1}{\sin^{2} x} d x = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C

Ta có:

F^{'} (x) = f (x) = \frac{2 \cos x - 1}{\sin^{2} x}; F^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2 \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}

Ta có:

F^{'} (\frac{π}{6}) = 4 (\sqrt{3} - 1) > 0 \Rightarrow F^{'} (x) > 0 \forall x \in (0; \frac{π}{3})

;
Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng

(0; π)

tại điểm

x = \frac{π}{3}

và

\underset{x \in (0; π)}{\max F} (x) = F (\frac{π}{3}) = - \frac{2}{\sin \frac{π}{3}} + \cot \frac{π}{3} + C = \sqrt{3} \Rightarrow C = 2 \sqrt{3}

\Rightarrow F (x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + 2 \sqrt{3}

F (\frac{π}{6}) = 3 \sqrt{3} - 4

;

F (\frac{2 π}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}

;

F (\frac{5 π}{6}) = - 4 + \sqrt{3}

Vậy A đúng.

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi