Cho hàm số $f (x)$ liên tục và có đạo hàm trên $[- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$ thỏa mãn
$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} [f^{2} (x) - 2 f (x) . (3 - x)] d x = - \frac{109}{12}$ . Tính $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{f (x)}{x^{2} - 1} d x$ .

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

\ln \frac{7}{9}

\ln \frac{2}{9}

\ln \frac{5}{9}

\ln \frac{8}{9}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} [f^{2} (x) - 2 f (x) . (3 - x)] d x = - \frac{109}{12}

\Leftrightarrow \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} [{(f (x) - (3 - x))}^{2} - {(3 - x)}^{2}] d x = - \frac{109}{12}

\Leftrightarrow \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {(f (x) - (3 - x))}^{2} d x - \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {(3 - x)}^{2} d x = - \frac{109}{12}

.
Mà

\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {(3 - x)}^{2} d x = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (9 - 6 x + x^{2}) d x = (9 x - 3 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}) |\begin{array}{l} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{array} = \frac{109}{12}

Suy ra

\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {(f (x) - (3 - x))}^{2} d x = 0

.
Vì

{[f (x) - (3 - x)]}^{2} \geq 0, \forall x \in [- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]

nên

f (x) = 3 - x

\forall x \in [- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]

.
Vậy

\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{f (x)}{x^{2} - 1} d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{3 - x}{x^{2} - 1} d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1 - x + 2}{x^{2} - 1} d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (\frac{- 1}{x + 1} + \frac{2}{(x - 1) (x + 1)}) d x

= (- \ln |x + 1| + \ln |\frac{x - 1}{x + 1}|) |\begin{array}{l} \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} = \ln \frac{2}{9}

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi