Cho hàm số $f (x)$ thoả mãn $\int_{0}^{3} [2 x \ln (x + 1) + x f^{'} (x)] d x = 0$ và $f (3) = 1.$ Biết $\int_{0}^{3} f (x) d x = \frac{a + b \ln 2}{2}$ với $a$ , $b$ là các số thực dương. Giá trị của $a + b$ bằng

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

35

29

11

7

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Tính

I = \int_{0}^{3} 2 x \ln (x + 1) d x

.
Đặt

\{\begin{cases} u = \ln (x + 1) \\ d v = 2 x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x + 1} d x \\ v = x^{2} \end{cases}

. Khi đó

I = {x^{2} \ln (x + 1)|}_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{x^{2}}{x + 1} d x = 9 \ln 4 - {(\frac{x^{2}}{2} - x + \ln |x + 1|)|}_{0}^{3} = 16 \ln 2 - \frac{3}{2}

.
Tính

J = \int_{0}^{3} x f^{'} (x) d x

.
Đặt

\{\begin{cases} u_{J} = x \\ d v_{J} = f^{'} (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u_{J} = d x \\ v_{J} = f (x) \end{cases}

J = \int_{0}^{3} x f^{'} (x) d x = {x f (x)|}_{0}^{3} - \int_{0}^{3} f (x) d x = 3 - \int_{0}^{3} f (x) d x

.
Mà

\int_{0}^{3} [2 x \ln (x + 1) + x f^{'} (x)] d x = 0

\Rightarrow I + J = 0 \Rightarrow 16 \ln 2 - \frac{3}{2} + 3 - \int_{0}^{3} f (x) d x = 0 \Rightarrow \int_{0}^{3} f (x) d x = 16 \ln 2 + \frac{3}{2} = \frac{3 + 32 \ln 2}{2}

.
Suy ra

\{\begin{cases} a = 3 \\ b = 32 \end{cases}

. Vậy

a + b = 35

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi