Cho hàm số $f (x)$ thỏa mãn $f (x) + f^{'} (x) = e^{- x}, \forall x \in ℝ$ và $f (0) = 2$ . Tất cả các nguyên hàm của $f (x) e^{2 x}$ là

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

(x - 2) e^{x} + e^{x} + C

(x + 2) e^{2 x} + e^{x} + C

(x - 1) e^{x} + C

(x + 1) e^{x} + C

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

f (x) + f^{'} (x) = e^{- x} \Leftrightarrow f (x) e^{x} + f^{'} (x) e^{x} = 1 \Leftrightarrow {(f (x) e^{x})}^{'} = 1 \Leftrightarrow f (x) e^{x} = x + C^{'}

.
Vì

f (0) = 2

nên

C^{'} = 2

. Do đó

f (x) e^{2 x} = (x + 2) e^{x}

. Vậy:

\int f (x) e^{2 x} d x = \int (x + 2) e^{x} d x = \int (x + 2) d (e^{x}) = (x + 2) e^{x} - \int e^{x} d (x + 2) = (x + 2) e^{x} - \int e^{x} d x = ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

= (x + 2) e^{x} - e^{x} + C = (x + 1) e^{x} + C

Vậy đáp án đúng là D.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi