Cho hàm số $f (x)$ xác định trên $ℝ \ {- 1; 1}$ thỏa mãn $f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ . Biết $f (3) + f (- 3) = 4$ và $f (\frac{1}{3}) + f (- \frac{1}{3}) = 2$ Tính giá trị của biểu thức $T = f (- 5) + f (0) + f (2)$ .

T = 5 + \frac{1}{2} \ln 2

T = 5 - \frac{1}{2} \ln 2

T = 6 + \frac{1}{2} \ln 2

T = 6 - \frac{1}{2} \ln 2

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Ta có

\int \frac{d x}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) d x = \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C

.
Suy ra

f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{2} \ln \frac{x - 1}{x + 1} + C_{1} k h i x < - 1 \\ \frac{1}{2} \ln \frac{1 - x}{x + 1} + C_{2} k h i - 1 < x < 1 \\ \frac{1}{2} \ln \frac{x - 1}{x + 1} + C_{3} k h i x > 1 \end{cases}

.
Ta lại có

f (3) + f (- 3) = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} + C_{3} + \frac{1}{2} \ln 2 + C_{1} = 4 \Leftrightarrow C_{1} + C_{3} = 4

f (\frac{1}{3}) + f (- \frac{1}{3}) = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} + C_{2} + \frac{1}{2} \ln 2 + C_{2} = 2 \Leftrightarrow C_{2} = 1

.
Vậy

T = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2} + C_{1} + C_{2} + \frac{1}{2} \ln \frac{1}{3} + C_{3} = 5 - \frac{1}{2} \ln 2

.
Ghi chú: ta có thể làm như sau để tránh việc chọn các hằng số.

\begin{array}{l} T = f (- 5) - f (- 3) + \frac{1}{2} (f (0) - f (- \frac{1}{3}) + f (0) - f (\frac{1}{3})) + f (2) - f (3) + 5 \\ = \int_{- 3}^{- 5} \frac{d x}{x^{2} - 1} + \frac{1}{2} (\int_{- \frac{1}{3}}^{0} \frac{d x}{x^{2} - 1} + \int_{\frac{1}{3}}^{0} \frac{d x}{x^{2} - 1}) + \int_{3}^{2} \frac{d x}{x^{2} - 1} + 5. \end{array}

Tới đây hoặc là tự tính kết quả hoặc dùng máy tính cầm tay để kiểm tra đáp án.

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi