Cho hàm số $f (x) = \ln x + m$ . Tổng $S$ của tất cả các giá trị của tham số $m$ để $\min_{[1; e]} |f (x)| + \max_{[1; e]} |f (x)| = \frac{3}{4}$ thuộc đoạn nào sau đây?

[3; 5]

[0; 3]

[- 2; 0]

[- 3; - 2]

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Ta có hàm số

f (x) = \ln x + m

luôn đồng biến trên

(0; + \infty)

nên hàm số

f (x) = \ln x + m

luôn đồng biến trên

[1; e]

;

f (1) = m; f (e) = m + 1

.
Trường hợp 1 :

f (1) . f (e) \geq 0 \Leftrightarrow m (m + 1) \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq 0 \\ m \leq - 1 \end{array}

.
Khi đó

\min_{[1; e]} |f (x)| + \max_{[1; e]} |f (x)| = |m| + |m + 1| \geq 1 \neq \frac{3}{4}

.
Trường hợp 2 :

f (1) . f (e) < 0 \Leftrightarrow m (m + 1) < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 0

.
Khi đó

\min_{[1; e]} |f (x)| = 0

;

\max_{[1; e]} |f (x)| = \max_{} \{|m|; |m + 1|\}

.
Vậy

\min_{[1; e]} |f (x)| + \max_{[1; e]} |f (x)| = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \max_{[1; e]} |f (x)| = \max_{} \{|m|; |m + 1|\} = \frac{3}{4}

\max_{[1; e]} |f (x)| = \max_{} \{|m|; |m + 1|\} = \frac{3}{4}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} |m + 1| = \frac{3}{4} \\ |m| < \frac{3}{4} \end{cases} \\ \{\begin{cases} |m| = \frac{3}{4} \\ |m + 1| < \frac{3}{4} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} m = - \frac{1}{4}; m = - \frac{7}{4} \\ |m| < \frac{3}{4} \end{cases} \\ \{\begin{cases} m = \pm \frac{3}{4} \\ |m + 1| < \frac{3}{4} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - \frac{1}{4} \\ m = - \frac{3}{4} \end{array}

(thỏa mãn). Do đó

S = - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = - 1

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi