Cho hàm số $f (x) = (m - 1) x^{3} - 5 x^{2} + (m + 3) x + 3$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $f (|x|)$ có đúng 3 điểm cực trị ?

4

5

C.3.

1

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

f^{'} (x) = 3 (m - 1) x^{2} - 10 x + m + 3

.
Xét hàm số

f (|x|) = \{\begin{cases} f (x) k h i x \geq 0 \\ f (- x) k h i x < 0 \end{cases}

, đây là hàm chẵn nên đồ thị nhận trục

O y

làm trục đối xứng. Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

y = f (x)

có đúng một điểm cực trị dương.
Trường hợp 1:

y = f (x)

có đúng 1 cực trị dương khi

y = f (x)

là hàm bậc 2 có điểm cực trị dương.
Với

m = 1

ta có

f (x) = - 5 x^{2} + 4 x + 3

có 1 điểm cực đại là

x = \frac{2}{5} > 0

.
Trường hợp 2:

f^{'} (x) = 0

có nghiệm

x_{1} = 0, x_{2} > 0

f^{'} (0) = 0 \Leftrightarrow m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3

\Rightarrow

f^{'} (x) = - 12 x^{2} - 10 x

và

x_{2} = - \frac{5}{6} < 0

.
Trường hợp 3:

f^{'} (x) = 0

có hai nghiệm trái dấu

\Leftrightarrow (m - 1) (m + 3) < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 1, m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 2; - 1; 0\}

Kết hợp ta có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi