Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} m x^{2} - 4 x - 10$ , với $m$ là tham số; gọi $x_{1}$ , $x_{2}$ là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = (x_{1}^{2} - 1) (x_{2}^{2} - 1)$ bằng

4

1

0

9

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Tập xác định

D = ℝ

.
Đạo hàm

y^{'} = x^{2} - m x - 4

.
Khi đó

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - m x - 4 = 0

.
Ta có

Δ = m^{2} + 16 > 0

\forall m \in ℝ

\Rightarrow y^{'} = 0

luôn có hai nghiệm phân biệt

\forall m \in ℝ

hay hàm số luôn có hai điểm cực trị

x_{1}

x_{2}

\forall m \in ℝ

.
Do

x_{1}

x_{2}

là hai nghiệm phân biệt của

y^{'} = 0

nên theo định lý Viet ta có

\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} . x_{2} = - 4 \end{cases}

P = (x_{1}^{2} - 1) (x_{2}^{2} - 1)

= {(x_{1} x_{2})}^{2} - (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + 1

= {(x_{1} x_{2})}^{2} - {(x_{1} + x_{2})}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 1

= 16 - m^{2} - 8 + 1

= - m^{2} + 9

\leq 9

\forall m \in ℝ

.
Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức

P

bằng

9

\Leftrightarrow m = 0

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi