Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{4} - \frac{14}{3} x^{2}$ có đồ thị $(C)$ . Có bao nhiêu điểm $A$ thuộc $(C)$ sao cho tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M (x_{1}; y_{1})$ , $N (x_{2}; y_{2})$ ( $M$ , $N$ khác $A$ ) thỏa mãn $y_{1} - y_{2} = 8 (x_{1} - x_{2})$ ?

1

2

0

3

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải: Lời giải
Chọn B
Cách 1:
Gọi

d

là tiếp tuyến của

(C)

tại

A

y^{'} = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{28}{3} x \Rightarrow y^{'} = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \sqrt{7} \\ x = 0 \\ x = \sqrt{7} \end{array}

.
Do tiếp tuyến tại

A

cắt

(C)

tại

M

N

\Rightarrow x_{A} \in (- \sqrt{7}; \sqrt{7})

.
Ta có:

y_{1} - y_{2} = 8 (x_{1} - x_{2}) \Rightarrow \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = 8 \Rightarrow k_{d} = 8.

Suy ra

\frac{4}{3} x_{A}^{3} - \frac{28}{3} x_{A} = 8 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{A} = 3 \\ x_{A} = - 1 \\ x_{A} = - 2 \end{array}

.
Đối chiếu điều kiện:

[\begin{array}{l} x_{A} = - 1 \\ x_{A} = - 2 \end{array}

. Vậy có

2

điểm

A

thỏa ycbt.
Cách 2:
Gọi

A (a; \frac{1}{3} a^{4} - \frac{14}{3} a^{2})

là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến tại

A

là

d : y = (\frac{4}{3} a^{3} - \frac{28}{3} a) (x - a) + \frac{1}{3} a^{4} - \frac{14}{3} a^{2}

Phương trình hoành độ giao điểm của

(C)

và

d

là:

\frac{1}{3} x^{4} - \frac{28}{3} x^{2} = (\frac{4}{3} a^{3} - \frac{28}{3} a) (x - a) + \frac{1}{3} a^{4} - \frac{14}{3} a^{2}

\Leftrightarrow {(x - a)}^{2} (x^{2} + 2 a x + 3 a^{2} - 14) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = a \\ x^{2} + 2 a x + 3 a^{2} - 14 = 0 (1) \end{array}

Để

(C)

cắt

d

tại

3

điểm phân biệt

\Leftrightarrow

Phương trình

(1)

có hai nghiệm phân biệt khác

a

\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ > 0 \\ 6 a^{2} - 14 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow a \in (- \sqrt{7}; \sqrt{7}) \ \{\pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\}

.
Theo đề bài:

y_{1} - y_{2} = 8 (x_{1} - x_{2}) \Leftrightarrow (\frac{4}{3} a^{3} - \frac{28}{3} a) (x_{1} - x_{2}) = 8 (x_{1} - x_{2})

\Leftrightarrow \frac{4}{3} a^{3} - \frac{28}{3} a = 8 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 3 \\ a = - 1 \\ a = - 2 \end{array}

.
Đối chiếu điều kiện:

[\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = - 2 \end{array}

. Vậy có

2

điểm

A

thỏa đề bài.

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi