Cho hàm số $y = \frac{1}{8} x^{4} - \frac{7}{4} x^{2}$ có đồ thị $(C)$ . Có bao nhiêu điểm $A$ thuộc đồ thị $(C)$ sao cho tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M (x_{1}; y_{1})$ ; $N (x_{2}; y_{2})$ ( $M$ , $N$ khác $A$ ) thỏa mãn $y_{1} - y_{2} = 3 (x_{1} - x_{2})$ .

0

2

3

1

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải: Lời giải
Chọn B
Phương trình đường thẳng

M N

có dạng

\frac{x - x_{2}}{x_{1} - x_{2}} = \frac{y - y_{2}}{y_{1} - y_{2}}

\Rightarrow

hệ số góc của đường thẳng

M N

là

k = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = 3

.
Vậy tiếp tuyến tại

A (x_{0}; \frac{1}{8} x_{0}^{4} - \frac{7}{4} x_{0}^{2})

có hệ số góc

k = 3

\Leftrightarrow f^{'} (x_{0}) = 3

\Leftrightarrow \frac{1}{2} x_{0}^{3} - \frac{7}{2} x_{0} = 3

\Leftrightarrow \frac{1}{2} x_{0}^{3} - \frac{7}{2} x_{0} - 3 = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = - 1 \\ x_{0} = 3 \\ x_{0} = - 2 \end{array}

.
+) Với

x_{0} = - 1

\Rightarrow A (- 1; - \frac{13}{8})

\Rightarrow

Phương trình tiếp tuyến

y = 3 x + \frac{11}{8}

.
Xét phương trình hoành độ giao điểm

\frac{1}{8} x^{4} - \frac{7}{4} x^{2} = 3 x + \frac{11}{8}

\Leftrightarrow \frac{1}{8} x^{4} - \frac{7}{4} x^{2} - 3 x - \frac{11}{8} = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 + \sqrt{3} \\ x = 1 - \sqrt{3} \end{array}

\Rightarrow

A (- 1; - \frac{13}{8})

thỏa mãn đề bài.
+) Với

x_{0} = 3

\Rightarrow A (3; - \frac{171}{8})

\Rightarrow

Phương trình tiếp tuyến

y = 3 x - \frac{195}{8}

.
Xét phương trình hoành độ giao điểm

\frac{1}{8} x^{4} - \frac{7}{4} x^{2} = 3 x - \frac{195}{8}

\Leftrightarrow \frac{1}{8} x^{4} - \frac{7}{4} x^{2} - 3 x + \frac{195}{8} = 0

\Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} (x^{2} + 6 x + 13) = 0

\Leftrightarrow x = 3

\Rightarrow

Tiếp tuyến cắt đồ thị tại một điểm

\Rightarrow

A (3; - \frac{171}{8})

Không thỏa mãn.
+) Với

x_{0} = - 2

\Rightarrow A (- 2; - 5)

\Rightarrow

Phương trình tiếp tuyến: .
Xét phương trình hoành độ giao điểm

\frac{1}{8} x^{4} - \frac{7}{4} x^{2} = 3 x + 1

\Leftrightarrow \frac{1}{8} x^{4} - \frac{7}{4} x^{2} - 3 x - 1 = 0

\Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} (x^{2} - 4 x - 2) = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 2 + \sqrt{6} \\ x = 2 - \sqrt{6} \end{array}

\Rightarrow

A (- 2; - 5)

Thỏa mãn đề bài.
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi